Resumen

En este trabajo presentamos la solución de la ecuación diferencial de segundo orden no lineal para el péndulo simple. Este problema puede ser utilizado para introducir conceptos de integrales elípticas y motivar así al estudiante el uso de software computacional para analizar las soluciones obtenidas, tomamos como referencia el trab ajo de Beléndez para hallar las soluciones. Las soluciones obtenidas para el desplazamiento y velocidad angular como función del tiempo se encuentra en términos de las funciones elípticas de Jacobi sn(u;m).

Palabras clave: Desplazamiento angular, integrales elípticas, leyes de Newton, péndulo simple, periodo.

Abstract

In this paper we present the solution to the second level non-linear differential equation fo r the simple pendulum. This problem may be sued to introduce concepts of elliptic integrals and thus motivate the student in the use of computational softw are to analyze the obtained solutions, we take as reference the w ork of Beléndez to find the so lutions. The solutions obtained for the displacement and angular velocity as a function of time is found in terms of the elliptic functions of Jacobisn (u;m).

Key Words: Angular displacement, elliptic integrals, Laws of Newton, simple pendulum, angular period.

En el presente trabajo estudiaremos el péndulo simple, ilustrado en la figura 1. En el problema planteado se supone que una pequeña masa m está suspendida de una cuerda de longitud l y masa despreciable, fija a un soporte superior estacionario. Se supone que la masa es tan pequeña que su comportamiento es esencialmente de una masa puntual.

En la figura anterior se representa al péndulo en alguna posición arbitraria de su ciclo donde la cuerda forma un ángulo 9 con la posición de equilibrio, es 9 decir representa desplazamiento angular del péndulo. Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son el peso mg (que se indica descompuesto en su componente paralela y normal a la cuerda) y la tensión T. La única componente de fuerza que genera momento, es la componente del peso mgsin (0) paralela a la trayectoria sobre la que se mueve la masa (Serway, 2009).

Aplicando la segunda ley al sistema descrito anteriormente, se obtiene una ecuación diferencial de segundo orden,

(1)

En la ecuación (1) w₀ representa la frecuencia angular natural de oscilación dada por:

(2)

En la ecuación (3) 9₀ es el desplazamiento angular inicial. Restringiremos nuestro estudio al no considerar fuerzas disipativas (de rozamiento), esto hace que la energía mecánica total se conserve, dando como resultado que el péndulo oscile en el intervalo

L^—¿V

Multiplicamos la ecuación (1) por

n'r, ~sin& = 0

ypf

(5)

La ecuación (5) hace referencia a la conservación de la energía mecánica total, al integrarla y aplicar las condiciones iniciales dadas por la ecuación (3), obtenemos

Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica cosd = 1 — 2 sin* [ —J, la ecuación anterior toma la siguiente forma:

Haciendo los siguientes cambios de variable

ari* ⁼ Y sin — y . fácilmente

se demuestra que de las condiciones iniciales dadas por la ecuación (3), obtenemos la siguiente relación:

(8)

Debe tenerse en cuenta 0 varía entre 0 y n, por lo tanto, k. está en el intervalo 0 < k < 1, al elevar al cuadrado la ecuación (8) se obtiene:

Donde g representa la aceleración de la gravedad. En este trabajo resolveremos la ecuación (1) en el caso en que el desplazamiento angular es »1rad (o sea, »5.3^O). Lo anterior implica que generalmente la aproximación que se realiza en la literatura ^; -£ ■ - no es válida. Siguiendo el trabajo de Beléndez (2007), impondremos las siguientes condiciones iniciales para la ecuación de movimiento:

—V _ - (É^S

i di/    1 -V*\íí/

La ecuación (9) anterior ecuación se expresa ahora en términos de las nuevas variables k y y, así:

(10)

En la figura 2, se observa que el desplazamiento angular aumenta en función del desplazamiento inicial. Al aumentar la amplitud de un péndulo simple se llega a un punto en que el movimiento angular deja de ser una representación válida del movimiento, y en estas condiciones el movimiento se convierte en inarmónico. Puesto que la magnitud de sin0 siempre es menor que la del ángulo 9, la aceleración del péndulo real será notablemente menor que ¹5

£.7*

(válida para ángulos pequeños donde = ■ , ,■ ■ ■ —: ■ ■ ) y que corresponde al movimiento armónico angular simple. Por esta razón, una vez que el movimiento se hace apreciablemente inarmónico o anarmónico el periodo ya no sigue constante sino que se alarga cada vez más a medida que aumenta la amplitud, como se mostrará a continuación. Retomando la ecuación (6) la escribimos de la siguiente forma

Haciendo ahora — ÜJ — 0 e integrando desde Oa 0O obtenemos,

(26)

Debe tenerse en cuenta que el tiempo es la cuarta parte de un ciclo completo, es decir la cuarta parte del periodo f — 4 —■ y si consideremos la substitución

sin — sin J sin,1a ecuación(26) se

reescribe:

La integral de la anterior ecuación, es una integral elíptica completa de primera clase la cual puede desarrollarse en serie de potencias, quedando como

Figura 3. Variación del periodo de un péndulo en función de la amplitud, ecuación (28).

Se observa en la figura 3, que el periodo T difiere apreciablemente de T₀ solamente para amplitudes muy grandes. Para pequeñas amplitudes es suficiente tomar el primer término correctivo, aproximación suficiente para la mayor parte de las situaciones prácticas.

A continuación, graficamos la velocidad angular dada por la ecuación (24)

(28)

Se obtiene así el valor exacto del periodo en función de la amplitud angular inicial para el péndulo simple. Para ángulos pequeños, los términos de segundo orden no contribuyen significativamente a la suma y se obtiene así el valor conocido para periodo:

4

Figura 4. Velocidad angular (24) para velocidad angular inicial de 0 rad/s (línea continua) y para 4 rad/s (línea a trazos).

Conclusiones

En este trabajo se presentó la solución a la ecuación diferencial no lineal que describe las oscilaciones del péndulo simple, encontramos que tanto el desplazamiento angular, velocidad angular y su periodo, son expresadas en términos de integrales elípticas. Estos resultados se resuelven numéricamente y encontramos que a diferencia de la aproximación frecuentemente utilizada en los textos de física, donde se hace valida la aproximación para ángulos de desplazamiento pequeños sin8 ^ Ú cuya ecuación diferencial de movimiento se reduce a 0    j _M .

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