APLICACION DE LA TEORIA DE GRAFOS A LA CONTABILIDAD

GUILLERMO CUELLAR M.

Profmor titular Facultad de Ciencias Contables y Administrativas

CONCEPTOS BASICOS DE LA TEORIA DE GRAFOS La teoría de patos et una teorfa perteneciente al álgebra moderna según la cual te estudian conjuntos de segmentos de línea y de puntos de un plano.

Su diferencia con la geometría euclldl*na radica en que la teoría de graf os carece de métrica, pues la conceptuallzaclón de “distancia" se obvia para hacer generalizaciones sobre las figuras o grafos. Es así como para la teoría de grafos la línea recta y la curva son equivalentes, una figura compuesta por segmentos rectilíneos es equivalente a la misma figura coi.ipuesta por segmentos de arco, todos los triángulos son equivalentes (equilátero, escaleno e Isósceles) ya que la teoría de grafos, sólo se ocupa de una propiedad común de los mismos: la trlangularldad.

La teoría de grafos considera que las fisuras se han dibujado en un plano "elástico , es decir supone que las figuras geométrica* están representadas en una hoja delgada, altamente flexible y elástica, de modo tal que puede ser sometida a distorsión (estiramiento, retorcimiento) Interesándose solamente por las propiedades que mantienen las figuras después de las deformaciones a que han sido sometidas. Obviamente la distancia entre los puntos y las formas de los segmentos han cambiado, pero el número de puntos y sus relaciones no.

Como ya se dijo, en la teoría de grafos existen dos tipos de elementos que combinados entre sí forman un grafo: segmentos de línea y puntos.

La teoría de grafos no se limita solamente a la representación geométrica de líneas y puntos, sino que en el campo de la informática se ha dado aplicación a la programación y a la recuperación de dato6, considerando que los puntos son elementos de una colección y las líneas relaciones existentes entre los elementos de la misma.

Es así como un archivo de datos, puede ser representado por un grafo: los puntos serán los registros y las líneas serán las relaciones existentes entre los registros.

De las tantas relaciones que pueden existir « entre los registros, puede considerarse que la relación de ORDEN es la más importante y el grafo nos mostrará entonces cómo están ordenados los registros dentro del archivo.

El concepto de DIRECCION es de suma importancia dentro de la teoría de grafos, para Indicar el tipo de relación existente entre los puntas. La dirección se Índica simplemente con una flecha sobre la línea. Es asi como se tienen grafos no orientados y grafos orientados.

Los grafos no orientados o simplemente grafos son aquéllos en que las líneas no tienen direc-" clón y corresponden a grafos con relaciones

simétricas, es decir, es indiferente el elemento ♦ que se menciona primero. Ejemplo: dados los elementos PEDRO y JUANA y la relación simétrica “familiar de" es indiferente si se dice “PEDROes familiar de JUANA” o “JUANA es familiar de PEDRO”, pero si consideramos los mismos elementos pero la relación asimétrica “hermana de” encontramos que aunque JUANA es hermana de PEDRO, PEDRO no es hermana de JUANA.

Este último grafo será un grafo orientado ya que la relación tiene una dirección. L« línea que une dos puntos de grafo se denomina

• arista en el no orientado y arco en el orientado.

r* mili aí w.'    É)EPr*ifc[un«'

Pldro    Huara    ftdro    3u0rti

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I

Otras relaciones asimétricas tales como ‘‘padre de”, “hijo de’’, “menor que” se representarán siempre con líneas con dirección. Para la aplicación de la teoría de Grafos a la Contabilidad, utilizaremos solamente grafos orientados.

Un grafo puede representar todas las relaciones

• del mismo tipo que existan entre unos elementos. Pero entre estos mismos individuos pueden existir otros tipos de relaciones y cada uno representarse con un grafo. Ahora bien, existe un problema ¿cómo se pueden superponer geométricamente estos grafos?

Una solución puede ser utilizar 1 íneas de colores diferentes, para indicar cada relación.

Otra solución es la emplear trazos diferentes para cada relación (trf>zo delgado, grueso, punteado, etc.)

V En el presente trabajo usaremos este último método en razón a las limitaciones en el uso del color.

TEORIA DE GRAFOS Y CONTABILIDAD

Para aplicar la teoría de grafos a la contabilidad consideraremos que los elementos de la colección son las cuentas del sistema contable y las relaciones entre los elementos son las transferencias de recursos entre las cuentas.

^ Así deberemos entonces concebir que ia repre-^m sentación de una cuenta será un punto en el papel, en el cual deberán marcarse tantos puntos como cuentas del sistema se utilicen, los cuales serán Ci, Ci, C3..,Cn

En (figura 2)

Oct

Oc*

Oc,

Fío.I

La propiedad general de las cuentas se definirá asi:

Desde una cuenta Xi a otra cuenta Xj se pueden transferir recursos, tales como dinero, mercancías. bienes económicos y derechos legales debidamente medidos en unidades monetarias.

Para representar una transferencia de recursos d sde Ci a Cj, se trazará en el plano una línea, orientada (arco) desde Ci a Qj. Encima de cada arco se escribirá una cifra, Nij, que indique la medida en unidades monetarias de ia transferencia. Esta cifra será la relación entre las dos cuentas y se denominará número asociado d arco.

El modelo general para representar una transacción contable lo podemos observar en el grafo de la Figura 3.

Oc O ti °^c    Q₄

Utilizaremos la Figura 3 para definir algunos términos y propiedades de los grafos así:

Los punto*» Ci, Ci, Cj... Cn poseen una propiedad: de ellos no salen ni llegan Iíneas, entonces se dice que son puntos aislados.

Los punt06 Ci jr Cj poseen una propiedad también: la conexión L cual, existe cuando entre dos puntos de un grafo hay una línea (camino)

Los puntos conectadas por un arco se denominan vértices. El punto del que parte la flecha (Ci)se denomina vértice inicia] y el punto donde termina (Cj) vértice final.

La línea que une a Ci con Cj se denomina Arco (Alj)y la cifra Nij indicará el valor de la transferencia realizada de Ci a Cj.

Para comprender el modelo supondremos el siguiente ejemplo.

Se organiza la sociedad La Gráfica Ltda. con un capital de 110 millones de pesos representado por 10 millones de pesos en efectivo, 20 millones en maquinarla y 80 millones de un edificio.

Construiremos el grafo contable de la anterior transacción así:

1.    Se transfiere dinero en efectivo de los socios a la sociedad (10 millones). Denominaremos Ci a la cuenta CAPITAL la cual representa loe derechos de los socios en la sociedad, y Cj ala cuenta EFECTIVO que representa el dinero de la sociedad tanto en Caja como en Bancos, pra-zamos un arco Aia desde el vértice Ci al vértice Ci, orientado hacia Cj, fia flecha apunta a

C2).

2.    Se transfieren máquinas y equipos de los socios a la sociedad por valor de 20 millones. Denominamos Cs a la cuenta MAQUINARIA. Nuevamente se traza un arco Ai3 desde Ci (CAPITAL) a C3 (MAQUINARIA) con la facha indicando a C3.

3.    La transferencia del edificio tiene idéntico tratamiento. Se denomina el vértice C4 como EDIFICIOS y se traza un arco Am desde Ci a C2 (EDIFICIOS) orientado hacia C4.

4.    Escribimos sotare cada arco trazado el número asociado al mismo que es el valor de cada transferencia, representándose así el grafo contable de la constitución de la sociedad La Gráfica Ltda. (Figura 4).

H *

Consideremos que a La Gráfica Ltda. le concede un crédito el Banco ABC por 5 millones, compra mercancías por 2 millones al contado y realiza venta de una máquina recibida de los socios por 5 millones.

Para graficar las entradas y las salidas de recursos en teoría de ¡pafos pueden utilizarse dos métodos:

a. Utilizar dos arcos, uno para los recursos que llegan b1 vértice y otro orientado inversamente para los recursos que salen.

b. Qnplear un solo arco usado como número asociado al arco la diferencia entre los recursos recibidos y los transferidos.

Paia la aplicación a la contabilidad es más útil usar el primer método.

Para seguir adelante en la aplicación de la teoría de grafos. se hace necesario introducir el concepto de flujo.

Un grafo es atravesado por un flujo cuando cumple las siguientes propiedades:

1.    El grafo posee un vértice único del cual salen arcos, pero al que no llegan arcos (vértice , inicial)

2.    El grafo posee un vértice único al cual llegan arcos pero del del que no parten arcos.

3.    En cualquier vértice Vi, la suma de los números asociados a los arcos que llegan a Vi, es igual a la suma de los número asociados a los arcos que salen de Vi (la suma algebraica de los números asociados a los arcos que llegan y los arcos que salen de Vi es cero).

En el grafo contable de la Figura 5 no pasa un flujo, pues no cumple las dos primeras propiedades, pero sí la tercera, esto se explica en razón a que las cuentas no están saldadas. Para que cumpla las dos primeras condiciones se debe modificar en forma convencional introduciendo dos vértices ficticios Ce y C*

Analizando el grafo de la Figura 5 y aplicando la propiedad descrita en el punto 3 tenemos:

Para el vértice Ci CAPITAL 0-(10+ 20+ 80) =-110

Para el vértice C2 EFECTIVO (10 ->-5 + 5) — 2*= 18

Para el vértice C3 MAQUINARIA *• 20 - 5 = 15

Para el vértice Cu EDIFICIOS 80 — 0 = 80

Para el vértice Cb OBLIGACIONES BANCARIAS 0-6 =-5

Para el vértice Q ALMACEN 2-0-2

(La fórmula aplicada es:

£ £ Número» asocladoil-= í‘ Números asociados A Arcos entrantes J A Arcos salientes

£ W 6, A £    a t N A * 9

SNA A E - NAA S-0)

Para hacer pasar un flujo por el grafo de la Figura B se procede de la siguiente manera:

a.    Introducimos dos vértices C< y C<i

b.    SI un vértice cualquiera presenta una diferencia negativa, se era. a un arco con línea gruesa, desde Ctt hasta ei vértice en cuestión, orientada la linea hacia dicho vértice y anotando encima del arco el Importe de la diferencia como numero asociado al arco

* _#

c.    SI un vértice cualquiera presenta una diferencia positiva, se traza un arco con línea gruesa desde el verttee en cuestión hasta Q*. con orientación hacia Cxl , colocándose encima del arco la cifra de la diferencia como número asociado al arco.

El grafo de la Figura 6 queda convertido en el grafo mostrado por la Figura 6.

T i6

Esto produjo el hecho de saldar las cuentas obteniéndose el Balance General o Estado de Posición Financiera así:

Las cuentas de Derechas (Activo) serán todos los vértices cuyos Arcos de trazo grueso se encuentren orientadas hacia el vértice C y au saldo será el número asociado a cada arco. Las cuentas de Obligaciones (Pasivo) serán todos aquellos vértices que posean arcos en trazo grueso provenientes del vértice C. Entonces, tenemos que la posición financiera de “La Gráfica Ltda." estará dada de la manera siguiente:

DERECHOS OBLIGACIONES

Efectivo 18' Obligaciones Bancarias 6'

Almacén 2' Capital    i in¹

Maquinaria 16’

Edificios SO’

TOTAL..... 116’ TOTAL..........115’

Asientos Compuestos. Un problema que se presenta al aplicar la teoría de grafos a la contabilidad, es el de los asientos múltiples o compuestos. Para resolverlo se hace necesario la utilización de un vertice “puente" o vértice “comodín".

Para ejemplificar supondremos la siguiente transacción:

Se adquiere una empresa por valor de 64 millones la cual consta de un edificio que tiene un valor de 30 millones, el terreno con valor de 10

millones y maquinarla por valor de 24 millones. La operacion se pap así: en efectivo se pagan 12 millones, se firman letras « un aflo por 17 millones y el resto con hipoteca a 16 año*.

Contablemente se deberá efectuar el siguiente atiento:

Edificios    30’

Terrenos    10’

Maquinarla    24'

Efectivo    12’

Letras por pagar    17’

Hipotecas por pagar 36'

El grafo contable del anterior atienta compuesto, necesita utilizar un vértice puente o comodín para mostrar la transferencia d# recursos entre las diferentes cuentas y quedaría representado por el grafo de la Figura 7.

Cono se puede obearrar al aaitnto compuesto se representó an al |rtfo medianía al artíllelo da Introducir al vértice comodín C« al cual paralta moatnr la transferencia da recunca que da otra minara no sería posible.

Aunqua por monea da UmltadonM da espado do m poaibie mostrar an aita trabajo toda» lia ■pllcaciones da la teoría da grafo* a la contabilidad, preiintaremoe an forms audnta otroa conoaptoa da plana utilización.

Camino. 8a llama camino a una aacuanda da arcoa limpia, aa decir, an la qua ningún arco •a npite y aa encuentran orlantadoa an al mino aenddo.

Braulio. Sa Uatna circuito a una Mcutncla da arcoa (camino), qua comíanla y termina an al mismo punta

Q grafo da la Figura 8 representa la transferends da recursos qua constituyen «I Coato de Produe-dón da un artículo y an ti aa apradan loa con- * oeptos descritos anta domante, así:

Loa vértices C*. Cj, Cj, C* conadtuyan un camino. Otro* camino* terian loi fonnsdos por loa vértices C*. Cí.C* , y Cj; Cs.Ct y Cl y al formado por loa vértices C», C», y Cj.

Un dimito icria al formado por loi vértice* Cj,

Cs, C*, Cs, Ci, y Cl ya qua al vértice Inidii y Rui ai Cl. Otroa circuito» mían loa formadoa por loa vértices Cl, Ci, Ca, C*, Cs, y Cl y al conformado por loa verdea* Ci, Cs, Cs.Cs. C

OTRAS APLICACIONES DENTRO DE LA CONTADURIA

La teoría de grafo* pueda tener también aplicación dentro de lo* prrtupuaito* a travft* da lo* flujo* presupuéstalas. Para tal efecto ae trazaré un grafo, cuyo* arco* representen lo* Mantea de Diario por período presupuestado, dlbuján-do*e loa arcos *ln asignarle* número* asodador Es poiibie establecer cuál será la magnitud de cada arco de manera aproximada considerando:

a.    Para cada cuenta (vértice) se sabe cuál será su saldo.

b.    Pn cada arco se estima su capacidad, si se entiende a ésta como el máximo número que puede asociarse al aíro.

c.    Se debe definir cuál es el presupuesto óptimo de acuerdo ri objetivo de la cnprau.

CONTABILIDAD MATRICIAL

La aplicación de la Teoría de Grafos a la con ti- ^ blldad, nos permite conoeptuallzar la antigua partida doble como una matraz cuadrada con un número C de columnas y un número F de filas, donde C — F ya que existirá una fila y una columna por cada cuenta. Esta matriz tendrá C*F elementos y el número máximo de relaclo-nea entre las cuentas estará dado por (C*F) — C ó (C^aF) - F, •* dedr d número total de elementas de la matriz menos *1 número dr cuentes o vértices involucrados. Ekto se entiende perfectamente si observamos que una cuente o vértice no puede tener peladon«s consigo mismo, o lo que es lo mismo su relación sfempm tendrá un m número asodado con valor cero.

Hecha esta explicación, el modelo de la contabi-Ü iidad matriclal estaría dado como sigue:

= M

Este modelo matriclal lo hemos desarrollado tomando como base el grafo de la Figura 5 en el cual existían seis vértices o cuentas, lo que obviamente produce una matriz cuadrada de seis columnas por seis filas, con 36 elementos o relaciones de las cuales seis tendrán siempre un valor de cero por ser la Intersección de cada cuenta con sí misma, lo que nos da un número máximo de 30 relaciones entre estas cuentas.

Para convertir un grafo en una matriz, debemos considerar que a cada arco Alj del grafo le corresponde un elemento mij de la matriz y su valor sera el del número asociado al arco Aij. SI no existe número asociado al arco, es obvio que no hay relación entre los vértices y por tanto su valor sera caro. Cuando en un elemento mij se tiene que i = J, entonces su valor será ilampre cero ya que se trata de la relación de la cuenta con sí misma.

Aplicando estos conceptos al grafo de la Figura

5, tenemos que entre el vértice C1 (CAPITAL) y el vértice C2 (EFECTIVO), existe un arco An con un número asociado de 10 millones que nos da origen al elemento m 12 el cual tendrá un valor de 15 millones. Así mismo el arco Ala dará origen al elemento mu con valor de 20 millones; el arco Ah al mw con valor de 80 millones; el arco A» al qlemento mi con valor de 2 millones; el arco A52 al elemento ms2 con valor de 5 millones y el arco A, da origen al elemento m32 por 5 millones. Ttasflriendo todo lo anterior a la matriz M tendremos lo siguiente:

Ci Cj C3 C4 CjCj

Esta matriz Mi nos está mostrando el movimiento de las cuentas en un momento dado. Para entenderlo mejor debemos señalar que bajo este modelo las columnas representan los DEBITOS y las filas los CREDITOS. La sumatoria de los elementos de una columna se denomina VECTOR DEBE y la sumatoria de los elementos de una fila VECTOR HABER. La diferencia entre el VECTOR DEBE y el VECTOR HABER se denomina VECTOR DE SALDOS.

Hasta el momento solamente hemos desarrollado la matriz MI a partir de un grafo, pero no hemos explicado cómo sería la mecánica de la contabilidad matricial. Para este efecto consideraremos a Mi como la matriz Inicial de mayor y desarrollaremos matrices de diario D para ejemplarizar el movimiento contable de un período, advlr-tlendo que al aparecer nuevas cuentas deberá ampliarse la matriz M para adicionar las columnas y filas que se necesiten.

Supondremos que se realizan las siguientes transacciones: se adquieren Muebles y Enseres por valor de 4 millones pagándose 1 millón al contado y el saldo con letras. Se cancelan GaatoB Generales en efectivo por valor de 1 millón. Se compra un vehículo por 6 millones, cancelándose 2 millones en efectivo y el saldo firmando documentos.

Dado estos supuestos hallamos que se deben abrir nuevas cuentas y por tanto se debe ampliar la matriz con los vértices siguientes:

C7    MUEBLES Y ENSERES

Ca    DOCUMENTOS A PAGAR

C9    GASTOS GENERALES

Cío    VEHICULOS

BIBLIOGRAFIA

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BERGE, C THE THEORY OF GRAPHS. Methuen t Co. Ltd.

BUSACKER. H. G and SAATY, T.L. FtniU Orapha and Ntttoorkñ. Me. Graw H1U,

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ITJRNER. J.C, Matemática Modtma ApUcada. Alianza Editorial, Madrid. 1070

Ahora si se procede a desarrollar una matriz D por cada una de las operaciones asi:

tete es un típico asiento en donde se ha dividido el total del cargo a C7 MJEBLES Y ENSERES para afectar las otras cuentas involucradas (C2 EFECTIVO y Ce DOCUMENTOS A PAGAR).

3. Por la adquisición del vehículo:

C

Otro caso de aliento compuesto al cual se le da el tratamiento idéntico al dei asiento 1.

Después de realizadas las matrices de Diario, debemos mayorízarias, es decir sumar las matrices Di, Di y D3 a la matriz Mi para obtener la matriz M_f o sea la matriz final del Mayor quedando representada de la siguiente manera:

Debemos ahora proceder a obtener lew saldos de cada cuente, sumando las columnas para obtener el VECTOR DEBE y sumando las Filas para encontrar el VECTOR HABER y posteriormente ^ determinar el VECTOR SALDO aif:

De donde obtenemos lo siguiente:

Una vez obtenido el VECTOR SALDO se forma el VECTOR BALANCE, simplemente creando dos conjuntos: loe saldos positivos que conformaría los DERECHOS (ACTIVOS) y los saldos negativos que conformarían las OBLIGACIONES (PASIVOS).

De todo lo anteriormente expuesto podemos observar que la contabilidad matricial implica una simplificación de la partida doble tradicional pues esta última se reduce a anotar en la lntersec- 4 ción de las cuentas involucradas en un asiento contable.

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