Microsoft Word - ENTORNOS 10

Aproximaciones del factor de fricción obtenidas por solución numérica de la ecuación de Colebrook

ara diseños preliminares de gasoductos y estudios de optimización, las proximaciones explícitas del factor de fricción obtenidas por solución numérica de la ecuaciun de Colebrook, son más exactas y más fáciles de usar que las ecuaciones comúnmente utilizadas para el cálculo directo de f, las cuales no requieren solución por ensayo y error La mejor de todas las aproximaciones es la Ecuación de Serghides

La ecuación (1) es la forma mas general que se aplica al flujo de gas natural por tuberia horizontal

q^h= Flujo de gas por tuberia horizontal, pie’ standard por día P= Presión, Lpca (Subíndice b = Presión base)

T= Temperatura, R (Subíndice b = Temperatura base) d= Diámetro de la tuberia, pulgada

C= 77,54 (constante especifica para las unidades usadas) f= Factor de fricción de Moody

Z= Factor de compresibilidad (adimensional. valor promedio) rg= Gravedad especifica (adimensional)

En ella, el factor de fricción de Moody (f) es una función considerablemente no lineal del Número de Reynolds (N_Re) y de la rugosidad relativa (e/D), que debe ser leído de una gráfica o determinado iterativamente de la ecuación (2) conocida con el nombre de ecuación de Colebrook.

donde e es la rugosidad absoluta de la tubería (pie), D, es el diámetro interno de la tubería (pie), y N_Rc el numero de Reynolds (adimensional)

En la ecuación (3), u_#, es la viscosidad del gas (valor promedio) y además, el N_d es función de q

Conviene aclarar que la ecuación de Colebrook es la base para predecir el factor de fricción para flujo de fluidos por tuberia, pero no se puede resolver directamente porque f aparece en ambos lados de la ecuación (2) La solución se obtiene aplicando una técnica de ensayo y error Ahora bien, si se quiore obtener directamente el valor del factor de fricción, se debe utilizar una ecuación aproximada que sea explícita en f, logrando de esta manera simplificar la solución de la ecuación (1)

Recordemos que el factor de fricción es una de las variables que más influye en la exactitud con que se estime el flujo de gas natural a través de tuberías horizontales En este sentido, resultan particularmente importantes las ecuaciones aproximadas para ei calculo directo de f, y dentro de este grupo, las que están basadas en la solución numérica de la ecuación de Colebrook, las cuales parecen ser más exactas que cualesquiera de las otras aproximaciones publicadas (Moody, Wood, Jain, Churchill y Chen). Sin embargo, la exactitud mejora con el número de constantes (A, A y B; A, B y C) para las cuatro ecuaciones más ampliamente conocidas de ia serie de soluciones numéricas de Colebrook (Vease Cuadro No 1)

Durante el flujo de gas natural por tuberías siempre resulta que alguna parte de la energía mecánica es convertida en calor Esta "Energía Perdida se debe a irreversibilidades de la corriente fluyente, las cuales consisten principalmente en pérdidas por fricción (por efectos viscosos y por causa de la rugosidad de la pared interna de la tubería)

Con excepción del flujo completamente laminar, la energía perdida en sistemas reales no puede ser predicha teóricamente, por el contrario, debe ser determinada a partir de experimentos y luego correlacionada como una función de las variables de flujo Las pérdidas por fricción son generalmente calculadas usando un factor de friccióni f, que por análisis dimensional se ha encontrado que depende del número de Reynolds (N_Re) y de la rugosidad relativa (e/D)

La base teórica para la ecuación general de flujo de gas natural por tubería es la ley de la "Conservación de la Energía" Luego, aplicando relaciones termodinámicas para la energía interna, la entalpia y la entropía es modificada a la forma de gradiente de presión ( a. P/ a. L).

El flujo horizontal, la energía perdida o caída de presión total es causada unidamente por cambios en energía cinética y por pérdida por fricción, asi:

El factor de fricción de Fanning, f, se define como la razón del esfuerzo de corte de pared (tw) a la energía cinética por unidad de volumen ÍDEN v7 2gc), es decir

En términos deí actor de fricción de Moofiy o de Darcy - Weisbach (f=4f), las perdidas por fricción son iguales a

La ec (7) se conoce con el nombre de ecuación de Mood> y f se define como el factor de fricción de Moody.

Este factor se representa en una grafica de (iog f) Vs (¡og N,J, parametrirada en (e/Dl, la cual se denomina "Gráfica del factor de fricción de Moody” y corresponde a la expresión analítica de la ec (2)

El número de Reynolds (N ) es la razón de las fuerzas del momento del fluido a las fuerzas de corte viscoso, y se usa como parámetro para diferenciar el flujo laminar del turbulento Generalmente se acepta que el cambio de flujo laminar a turbulento ocurre a un N _c de 2100 para flujo en tubería Para propósitos prácticos de flujo de gas natural, el N_ke se calcula por medio de la ec (3)

Normalmente, la pared interna de una tuberia no es lisa sino rugosa La rugos’dad es función del material de la tubería, del método de fabricación y del ambiente al cual han sido expuestas La rugosidad absoluta (e) de la pared interna de una tubería es definida como la altura saliente promedia de granos de arena, estrechamente empacada y uniformemente distribuida, que podría dar el mismo comportamiento del gradiente de presión que la pared de una tuberia real

El análisis dimensional sugiere que el efecto de la rugosidad no se da en unidades absolutas sino en forma relativa al diámetro interno de la tubería, es decir, en términos de rugosidad relativa (e/D) Esta se define como la razón entre la rugosidad absoluta y el diámetro interno de la tubería, ambos expresados en las mismas unidades (cantidad adimensional)

La rugosidad absoluta no es una propiedad medible para una tuberia La manera de evaluarla es comparando los gradientes de presión obtenidos a partir de la tubería en estudio con los de una tuberia que ha sido recubierta internamente con arena

Si no existe ninguna información disponible sobre rugosidad absoluta, un valor de E= 0 0006 pulg es recomendado para gasoductos

Corresponde a la Ecuación (2) y es la referencia para el desarrollo de ecuaciones aproximadas para el calculo directo del factor de fricción de Moody

'orno se anoto anteriormente, la ecuación de Colebrook es implícita en/, y por tanto, requiere de una solución numérica. Además, qh depende de f según la ecuación (1), y al mismo tiempo, f depende de qh como lo muestran las ecuaciones (2) y (3)

En efecto, resulta practico disponer de una aproximación de la Ecuación de Colebrook que de lugar a una solución analítica de f, lo cual simplifica considerablemente la solucion de la ec (1) Aquí lo importante es la exactitud de la aproximación desarrollada para ei cálculo de f

Son aproximaciones explícitas a la solución de la ecuación del factor de fricción de Colebrook (ecuación 2). las cuales tiene diferentes intervalos de aplicabilidad, como se muestra en el cuadro No 1 Estas soluciones aproximadas se diferencian en el numero de constantes y en la formula que se utiliza para combinar estas constantes Nótese que la expresión que se usa para calcular las constantes, generalmente es una aproximacon de ia ecuación de Colebrook

Del cuadro No 1 se observa que la ecuación de Serghides de tres constantes (A, B y C) es la mas exacta de todas las ecuaciones explícitas del factor de fricción, con una desviación máxima, con respecto a la solución numérica de la ecuación (2), de 0.0023% y con una desviación promedio de 0 0002% (cien o mas veces mas pequeñas que las otras aproximaciones publicadas)

Exactitud de las aproximaciones explícitas de la ecuación del tactor de fricción de Colebrook, obtenidas por soluciones numéricas__

r - ^<7*1 • V	(\ 4 7*1 f \
	B-2A	• 4 7*1)
A- -2 0 lo*	i”	12
	V n
p- oiof	/•D í — V’*	2 51

NOTA El % de desviación absoluta (% DA), es el valor de la diferencia fracciona! entre el factor de fricción obtenido a partir de la ecuación aproximada y la solución numérica de la ecuación de Colebrook, multiplicada

donde fes el factor de fricción de Colebrook calculado numéricamente, y fa es la aproximación

Las constantes A, B y C de la ecuación de Serghides son expresiones aproximadas de la ecuación (2), las cuales se determinan mediante tres iteraciones por el método de sustitución directa Adicionalmente, la ecuación (13) combina ¡as tres constantes de acuerdo con la formula de Steffenson, así:

La ecuación de Serghides de tres constantes (ecuación 13) se recomienda para usarse en cálculos computacionales de f Una versión más sencilla es la ecuación (12), pues sólo tiene dos constantes (A y B) y es muy aproximada pero mas fácil de usar en cálculos manuales de f La ecuación (12) también fue obtenida mediante aplicación de la técnica de Steffenson a una solucion numérica de la ecuación (2)

] CRAFT. B C and Hawkings. M, Applied Petroleum Reservoir Engi-neering, Englewood Cliffs, New Jersey. Prentice - Hall Inc , 1991

2 SERGHIDES, T K , "Estímate Friction Factors Accurately" Chemical Engineering, Mar 5, 1984, p 63-64

3 TOWLER. Brian F , and Pope. Timothy L "New equation for friction -factor approximation developed" . Oii & Gas Journal, Apr 4, 1994, p 55-57

4 ZIGRANG, D J . and SYLVESTER. N D , "Explicit Approximations to the and solution of Colebrook's frictions factor equation", Aiche J , Vol 28. No 3, 1982

Profesor titular Departamento de Ingeniería de Petróleos Universidad Surcolombiana