Por: Ricardo CedeAo Tovar1
Tarquino Efren Collazos2 Johany Ramírez Salaiar3
El profesor DIÑO SEGURA en uña reciente visita a nuestra Universidad ilustrando una situación planteó el siguiente problema:
¿Cuántos cuadrados tiene un tablero de ajedrez?
Una respuesta inmediatamente e incompleta es: por lo menos 64, ya que el tablero de ajedrez es un cuadrado de 8 x 8 casillas cuadradas, 32 negras y 32 blancas
Una composición, por ejemplo, de 4 casillas ubicadas en la siguiente forma:
También es un cuadrado (independientemente del color de las casillas)
Con un poco de paciencia siguiendo este procedimiento y con cuidado terminamos nuestro arduo trabajo, pero podríamos tener alguna duda en nuestras cuentas si por casualidad a otra persona le da un resultado diferente.
Así que podríamos repetir el conteo de nuevo y esperar que nuestro "nuevo" resultado coincida con el encontrado anteriormente
Empezando con el cuadrado de lado dos, recorremos las dos filas superiores del tablero de ajedrez, iniciando el recorrido, de izquierda a derecha encontramos siete cuadrados. Más explícitamente, si numeramos las dos filas superiores del tablero de ajedrez de la siguiente forma:
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1 |
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3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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9 |
10 |
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Encontramos que las casillas 1, 2, 9 y 10 forman un cuadrado, lo mismo ocurre con. 2, 3, 10, 11; 3, 4, 11, 12; 4, 5, 12, 13; 5, 6, 13, 14; 6, 7, 14, 15; y 7, 8, 15, 16.
Puesto que de manera vertical la situación es la misma, tenemos un total de 7x7 cuadrados de lado 2 en el tablero de ajedrez.
Considerando los cuadrados de lado tres, en las tres filas superiores podríamos numerar las casillas:
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
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9 |
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y encontramos que las siguientes agrupaciones de casillas 1, 2, 3,9, 10, 11, 17, 18, 19; 2,3,4, 10, II. 12, 18, 19,20, 3,4,5, II, 12, 13, 1Q,20.21; 4. 5,6, 12, 13, 14,20,21,22; 5,6,7, 13, 14. 15,21,22,23; 6,7,8, 14, 15, 16,22,23.24; forman cuadrados de lado tres. Es decir que tendríamos 6x6 cuadrados de lado tres.
Bueno, en este momento tenemos:
8x8 cuadrados de lado uno 7x7 cuadrados de lado dos 6x6 cuadrados de lado tres
Es lógico pensar en los términos que siguen:
5x5 cuadrados de lado cuatro 4x4 cuadrados de lado cinco 3x3 cuadrados de lado seis 2x2 cuadrados de lado siete 1 x 1 cuadrados de lado ocho
Por lo tanto tenemos que el tablero de ajedrez (un cuadrado de lado ocho) tendrá:
12 + 21 + 32 + 42 + 52 + 6: + V + 82 cuadrados
Aquí, podemos aventurarnos a conjeturar que un cuadrado de lado n tiene:
12 + 22 + 32 + 42 + . . . + n2 cuadrados
Asumamos que un cuadrado de lado k, 1¿ k< n tiene l3 + 22 + . . . + k2 cuadrados donde i2 es el número de cuadrados de lado ( k - i + 1).
Luego para un cuadrado de lado k + 1 , tenemos que habrían (k + l)2 cuadrados más, ya que tendríamos k x k cuadrados de lado dos. puesto que de manera horizontal k variaría desde 2 hasta k + 1, de lado k + 1 hay un sólo cuadrado así tenemos que hay l2 + 22 + . .. + k2 cuadrados de lado k + 1, k ,. . .2, faltarían los (k + 1 )2 cuadrados de lado uno, en fin hay 12 + 22 + . . . + (k + 1 )2 cuadrados en un cuadrado de lado k + 1 .
El proceso que hemos descrito hasta aquí, es tal que partimos de un problema particular (averiguar el número de cuadrados que tiene un tablero de ajedrez) y lo hemos generalizado para un tablero de ajedrez de lado n.
Nuestros estudiantes de matemática deben estai interesados en este tipo de argumentos, de pronto logramos que algunos estudiantes de los colegios se interesen
La idea básica es mostrar caminos para satisfacer algunas curiosidades y dejar abiertas otras preguntas, tales como: ¿Podríamos mostrar otro argumento para llegar a la conclusión que tenemos'’
¿La expresión I* + 22 + .. + nJ puede ser escrita de otra forma?
¿Cuál sera la respuesta, si pedimos que los cuadrados sean disyuntos?
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Cómo Plantear y Resolver Problemas. G. Polya Editorial Trillas. México I99S.
La solución de Problemas UNO Revista de Didáctica de las matemáticas. No 8 AAo III, abril 1996
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Profesor Ulular Universidad Surcolombiana - Magister en Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia
Estudiante Especialízación en Educación Matemática - Universidad Surcolombiana.
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