Una familia de sucesiones convergentes a partir de un sistema dinámico discreto.

Luis Arturo Polanla Q.¹ Gabriel Santiago Rozo p.^J

Los autores exponen un método de construcción, que presenta ventajas sobre Ios métodos usuales de construcción de los números reales a partir de los números racionales; tal como ei método de ios intervalos encajados de extremos racionales o el de las sucesiones de Cauchy de números racionales.

La sucesión de Fibonacci junto con la sección áurea hantenidointn^s a los matemáticos por mucho tiempo, en parte a cau    _{en re|nQ}

presentarse en los lugares más insospecht- os, p ¡ esDiral de las vegetal dicha sucesión hace su aparición en a ^imPf ₍ distribución en semillas de ciertas variedades de giraso, ^|9^{ua l}|ⁿ . _{j d} aprovechar espira, de las hojas a.rededor del ta o conelpj^^, ^ _de mejor la luz solar; en tes;escamas _ qu    _{ón de FibonaC}ci es aquella

una piña. Una propiedad notable de la    _ecutj_VOs va oscilando por

en que la razón entre cada par de números consecutivos^    ^ ^

encima y por debajo de la razón aurei , ^ _{V0Z men0}r; la razón de sucesión, la diferencia con esta se ^ ^ ¡_nf¡nit0i |_a razón áurea, términos consecutivos tienen por

¡ón ¿urea y ^ 1^ sucesión Existe abundante literatura    _a las artes plásticas. ala

OS Fibonacci. tal es el caso de las    Virgilio y «ros poeBsde

arquitectura e incluso a la poesía ( p¡honacc¡ en sus composici su época se sirvieron de la sucesión de Fibon

cesiones generalizadas

El interés por esta sucesión y ^{las l}'^a^eros cualesquiera y ⁸ P^_d® ^de Fibonacci (que comienzan por    ^ anteriores) ha ^a^    ’

al», cada término se obtiene sumando' ^_o^doramaCÍÓn de computadores,

^en respuesta a recientes avance

, „ Facultad Ciencias exactas y

------------Hidontl' Pro'«³⁰'^Facumu

Magistw en Ciencias Matemáticas- Univarsida    dinámicos.

Murales Universidad Surcolombitn*- mnllcaclon**

Especialista en Educación Matemática con w»

donde estas sucesiones son apocadas e^r c as »í • cac^,ón de datos, recuperación de información, generación de números atacaos, e incluso en métodos raptaos de ca¡cuio aproximado oe va c^res máximos o mínimos de funciones complicadas, cuando no se conoce su de^./aoa

El objetivo del presente trabajo es ei de construir u^r«a familia de sucesiones en el intervalo unidad [0.1 j todas convergentes hacia un único número real, conocido como e numero de oro de a geome^a ó a med a de oro.

Metodología

Para el desarrollo del presente trabajo he^os usado e constructivo. Esto es. de una construcción geométnca he^os logrado una sucesión de aproximaciones del numero de oro Esta sucesión resurta se^r un proceso iterativo. En consecuencia, le asociamos un S*stera Dinámico Discreto no-lineal: el cual nos permitió obtene^r a farr a de sucesiones convergentes a través del único punto fijo del S ste~a Dinámico que resultó ser atractor.

Discusión y resultados

Para obtener la media proporcional entre todo un segmento unitario y la parte más corta, consideramos un decágono regular inscrito en una circunferencia de radio unidad y llamando x a la medida del lado del decágono. Vemos que el ángulo AOB mide 36° y los ángulos OAB y OBA mide cada uno 72°, pues el ’triángulo AOB es isósceles. Al trazar la bisectriz al ángulo OAB se determina e) triángulo BAC también isósceles; y así el triángulo AOB es semejante con el triángulo’BAC. En

consecuencia, es válida la proporción 1

es decir, x - • Esta ecuación genera la fracción continua simple

1 i «A

X =

i+

i+

i +

i+

de donde se obtiene la siguiente sucesión de estimaciones del número x (llamadas las convergentes de la fracción continua)

donde _a es el n-ésimo número de Fibonacci.

Luego,

X —^an+\ _ ^an+1 — * -n+\ ~

/i+l

Equivalente al Sistema Dinámico discreto no-lineal

**+i = f(*_w), n =0,1,2,...

donde f es una aplicación f _: [o,l] —> [0,l] ^de^ⁿ‘^da P^or f(y) ⁼

^^0r ser f función continua en [o,l]»virtud del teorema Brouwer existe y 5 [o,l]tal _qUe «,) = y. Eslo es. = y'° ^{18 ecuaci6}'’

- I ± yfS

cuadrática y^;+ y -1 = 0. cuyas soluciones son y ^

ákm

Seleccionamos —como valor do y, puos    no pertenece

2 2

al intervalo [0,l].En consecuencia, ol sistema dinámico mencionado

I ^

antes, posee un solo punto fijo - en ol espacio de fases [o.IJ

El gráfico anterior muestra claramente que la órbita de cualquier punto a e [0,l] converge hacia zLlL .Estoes, Lint (ⁿ(a) = ——

*    n —►<*>    o

para todo a € [0,l]; pues si fuera Lím f" («) » íi, con [i * V ¹, (i e [0,1 ]

*• ^

M

se tendríaf(0) = f(jUm    f (**" («))* í"^+l(a) =/J.por

continuidad de la función f en [0,1]. Asf «/})- /¡contradice el hecho de

que ^ ~ ^ es el único punto fijo de f en [O.l].

2

Obsérvese que JLi es un punto fijo atractor y que la órbita del

2

punto x₀ = -, que es el conjunto de valores.

¹ \ l£ ¹ i i - - — 1

0 ⁺ (_ío) = ^₀,f(x₀),f^j(x„),f⁵(x₀).f⁴(xo).f⁵^»)-^{f (t}»⁾-'^í=\rT’2'3^,5-813- j

. Jí-l

converge hacia -- •

2

Conclusiones

•A« eo nuede obtener fácilmente algunos • Mediante esta construcción se p

.....Vs-i

números irracionales tal como - •

. _ar, _aste artículo, presenta ventajas

' El método de construcción logrado    ¡_ón |₀s números reales a

sobre los métodos usuales de ^C0['^8I[_{> ei m}étodo de los intervalos partir de los números racionales; tai co    ₈,_ones de Cauchy de

encajados de extremos racionales o el números racionales.

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