En este estudio cualitativo sobre ecuación KdV encontramos que su sistema dinámico se fundamenta en la existencia de una órbita homoclínica solitónica, con simetrías del tipo "Orbit Flip" resonante. Para ello, (as recurrencias en una vecindad global de estas soluciones solitónicas, generan un número finitos de ciclos, en el caso de resonancias "Orbit Flip resonante” en las direcciones principales del equilibrio; o dinámicas caóticas, en el caso de resonancias nopríncipales entre los valores propios del equilibrio. Por ello para describir las superficies asociadas a la continuación homoclínica o heteroclínica en el espacio de parámetros estudiamos, mediante diversas herramientas matemáticas, el campo vectorial no-lineal asociado a la ecuación KdV, sus sistemas variacionales y de valores propios.

Uno de los logros más notables de la segunda mitad del siglo XX, y que además ¡lustra con claridad la unidad subyacente de las matemáticas es la Teoría de Solitones. Los solitones son ondas nolineales que exhiben un comportamiento extremadamente inesperado e interesante.

Este descubrimiento provocó una enorme actividad investigativa que puso de manifiesto, de una forma muy hermosa, la unidad de las matemáticas. Concurrían aquí desarrollos en computación y en an'alisis matemático, que es la forma tradicional de estudiar las ecuaciones diferenciales. Resulta que estas soluciones pueden ser entendidas medíante elegantes construcciones de Geometría Algebraica. Las soluciones están también íntimamente ligadas a la teoría de Representaciones, porque estas ecuaciones poseen un número infinito de simetrías ocultas.

Estas ecuaciones también están relacionadas con cuestiones de geometría elemental. Por ejemplo, un problema interesante es el encontrar la superficie de un cono de volumen dado, pero con la menor área entre todas las superficies con una frontera dada. Las ecuaciones diferenciales que describen las

ln tliis qualitative study of the equation KdV-Burger finds that its dynamic system depends fundamentally on the existence of a trajectory homoclinica of the type "Orbit Flip” resonant and with symmetries. For it, in a global neighborhood of these solutions there ¡s a finite number of periodic orbits, in the case of the resonances in the main addresses; or chaos exists due to the period duplication, if the approaches are not in the main addresses. The pattern KdV-Burger examines the beds of fluids gas by perforation process. To describe the corresponding bifurcation surfaces we study in a global neighborhood of the homoclinic trajectory, the variational equation and the own valúes equation.

soluciones de este problema exhiben el mismo comportamiento de solitones de las ecuaciones que describen las olas de aguas poco profundas. De manera que hemos empezado con dos problemas matemáticos, uno en física matemática y otros en ecuaciones diferenciales, y hemos encontrado que los dos exhiben ese mismo comportamiento tan interesante y extraño causado por la existencia de los solitones.

Así obtenemos un panorama completo de las posibilidades cualitativas que ofrece el modelo KdV en las proximidades de las soluciones solitónicas, estudio que hemos designado como de "bifurcaciones del modelo", cuestión que resulta de mucha importancia para el control y diseño de procesos en diversos campos del conocimiento científico o tecnológico.

En los siguientes teoremas formulamos y probamos la existencia de soluciones homoclínicas para el sistema dinámico relacionado con una generalización de la ecuación (KDV) con condiciones iniciales.

"Para la ecuación de la dinámica de solitones del modelo denominado KdV - Bungers con condiciones iniciales siguientes.

donde s = x —ct, c > 0, ü € IR pequeño y g (u)--j-. existe una solución ^u< (¿) (^Mel tipo soliton que en un retrato de fases sistema dinámico tridimensional asociado, se trata de una órbita homoclínica "orbitflip" hacia una silla enel origen

Si = 0, el origen O = (0,0,0) es un equilibrio inestable del tipo orquilla, es decir, la órbita homoclínica se puede desdoblar en una bifurcación heteroclíníca.

Por analogía con las variables de Lienar en el sistema de Van der Pool ver, [A], tenemos que la ecuación KdV-Burgers se puede expresar como el siguiente sistema dinámico en dimensión tres:

r = .i ( ÍT.í). (’) 4- C1 (v<; i i) con único equilibrio en el origen de coordenadas 0 y función característica en 0 igual a;

tenemos que los valares propios de la matriz .4(W. ■>. • ) son: A - A = ±_V‘T. Luego si 0 < i) < < ?, el equilibrio es de tipo silla y las variedades locales tiene las siguiente dimensiones:

(Jim (IT* {('■■ iU))) = I ■ (n‘'" (W); ¿1,, dónete /"¡¡i = (-fu.rni.Si ,> < 0 las dimensiones son al contrario; si, además | ■> se genera una dinámica complicada, ver [A] pues la resonancia es en éste último caso es entre direcciones no principales de los vectores propios.

Canard ver [A]. De otro lado, la ecuación u, (O . dada por la fórmula (1) es una solución de (3) bi-asintótica hacia el origen, esto es

ir = tit/ -j- r

r — rr — <f í a) tr — rr 4- ívÍm

lim a, k> = ^fl;

N.- Í

íiju'o J# ir"'' i* íiju'o Jb

Figura 1. Bifurcaciones globales :"0rbit Flip" hacia una silla resonante er el origen

con condición inicial "U.o) = "nM-para el caso en particular la función ■»»! = el sistema específico es el siguiente:

y que se puede escribir como íí = 1 {¡r.¡<) .donde T⁷ es el campo vectorial

Entonces el sistema (2) se puede expresar de la siguiente forma:

Así tenemos que la solución <<. unido con el equilibrio i> corresponde a lazo homoclínico del tipo "Orbit Flip resonante" como lo indica la figura la), la cual se desdobla inicialmente como en la figura 1 b), teniendo en cuenta las simetría indicada en la gráfica 1c).

Primero asumimos que ' * en este caso los vectores propios asociados a los valores propios son los siguientes:

Observamos que la segunda y tercera componente del sistema (3), para «fijo, forman un subsistema Hamiltoniano en las variables (r. «•).

con ¡„)| n(. \ cuando ■- ■ cuando - —t- '■■ ■

í¹1	1 " = "l. -V' — f
V"	^[ \

La ecuación linealizada de (1) alrededor de u_c¡t> > N i-es el siguiente Hamiltoniano

con solución «(v) =v(_s. r>) < ^Xs. donde el problema de valores propios X. de (1) es < >J._rF = XF.se puede

con i r.n'j ~ C“. Asumiendo una solución u (si de (11) de la forma n = <¡, + n con

donde en P se recogen parámetros involucrados. Entonces la solución de (12) corresponde al mapeo de Poincaré alrededor del lazo homoclínico resonante n_c (>: II). que se expresa mediante una "función de Evans" y cuyos iterados desdoblan la solución homoclínica ", i,s,(s: p), para p en una vecindad de cero en el espacio de los siguientes parámetros:

donde hacemos -1 = ⁿi </”'):'»i W) es el parámetro que desdobla las resonancias entre los valores propios del

equilibrio; «,.<>.) = «, U )^Xes la solución acotada del sistema variaclonal adjunto; »■(/“) es el parámetro que clasifica la orintación de las órbitas entre orientables, (no-Twist), o no orientables (Twist)

con <;„ (o = », (o De otro lado podemos, escribir la solución de (12) como <7 = », + £ donde ñ essolución del sistema variacional siguiente

Para el estudio de los iterados de las soluciones de (16) trazamos la sección transversal I a la solución igual al plano siguiente:

i) La solución de (16) se consigue mediante la siguiente formula de variación de parámetros

donde o (O es la matriz fundamental del sistema variacional (15).

ü) el sistema adjunto al sistema variacional (11) es el siguiente sistema ortogonal:

de (3); y entonces la solución acotada del sistema adjunto variacional (59), ver |I\I1] es igual a:

Aclaramos también que el sistema (56) se puede expresar como sistema matricial con parámetros siguientes:

donde R. ( Oes la parte real de < ; en el límite, cuando v — +x el sistema (18) es el siguiente sistema

que tiene como simigrupo i ^A y depende de la proyección de < >,» (di en el Kernel de A^-*- (/.->). De (20) y (22) podemos calcular simultáneamente los dos siguientes sistemas de valores propios en el límite cuando ^--K :

cuyos valores i> pueden también están en el Resolvente ]/\ (/< i de .4^X', el resolvente de A^x I X.<>) es definido así:

o su continuación analítica mediante trasformación " L", con las propiedades de simetrías que provienen de la matriz "L" en (23),

iii) Podemos encontrar soluciones eu a (s. X. ) del sistema variacional (25) construidas a partir de la denominada función de Evans [.) ( X. <\) asociada a (22) y (25), ver [H.I.K] y figura 2b}, definida así:

cuando Ju (X) > (puesto que la existencia de la función D(X) es evidente para //(X) < 0: por ejemplo para ¡i, (X) = 0. setieneque ”/ = //„. Así tenemos que:

FNT@RIMOS ²²

Donde hacemos B - ,4»-/n/. /?(<•) - .4 W-.4~. *¡ 0.9 M = (B + 7?) (f<i 4- *) su solución es <1/ ^._s) = <lj — 'ii' (/)(<* + 'I' (/•)) tlr.

Del estudio de los ceros de multiplicidad dos (2) de la función de Evans 11 (X. <>) surge una expresión como la siguiente para el resolvente de (27):

la figura 2a) para la curva cerrada [De (29) se deduce que £> (X. á) induce polos en el resolvente, llamados polos

ecuación diferencial que está en el núcleo de la derivada paramétrica del transladado del Hamiltoniano, H-cN, esto es de ^ (H.cN) = 0; donde:

La dinámica del flujo próxima al lazo homoclínico ver figura 3a) solución de la ecuación diferencial (18) se estudia mediante su función de energía asociada, E (n. //,). que es obtenida del Hamiltoniano mencionado arriba esto es:

la función separación entre las variedades invariantes 11 - (■ (O: f» V IV‘■' {n,. (O : f>) es dada por la siguiente ecuación:

,/(„} = r’¡ (,/) - .tí (¡>) = -i (/O ». I") -con respecto a parámetros la derivada es igual a la siguiente función del "Mel-nikov":

<!,r tit)

' ,¡r

el signo d.la wuacUn(311 *-n criteriopara clasificar la órbita homocMca >- «*• W.o na

de (371. Para el sistema variacional (11) existe estructura de dicotomía exponencial en ! - ,] U [s + -,)■ con proyección

(40)

(41)

en consecuencia existe la siguiente función deGreen asociada a la ecuación diferencial (11).

entonces la solución de (30) es » (*) = ^K M-*')« ⁽-'|^,!s- ^De I⁴⁰) ^tamJ^ién ¡^ene™^S . _¡d

quer₎(_v) = a(s|[i-/M{_l:-MO)r,(U) + .f_t;v'-¹(‘.)^('-^):^W/.s} = 0, esta igualdad a cero es exigida para

v) Finalmente para describir mejor el diagrama de bifurcaciones reescalonamos el tiempo usando

_; _ íl/íü) tenemos así la siguiente ecuación variacional en un dominio compacto

puede proyectar al plano proyectivo real IRPz, teniendo en cuenta que su grupo fundamental es t

además, si —j— < 0. entonces P(A) > si X < <l v [//] = (i ; lo que permite detectar, contar y calsificar entre el carácte "twist", homeomorfo a una banda de Mobius de la variedad U'"-'»,. (_v). en el primer caso; o "no-twist", en le segundo caso.

En el siguiente teorema tratamos los mecanismos de control en modelo KdV, usando una versión con perturbación singular denominada como KdV-KS.

/ = I) corresponde a las ondas de la KdV, ■ ?= O corresponde a un sistema que controla la velocidad de la onda en coordenadas móviles s — .r — t i. Entonces que existe una superficie en eJ espacio de parámetros ¡< ~ -V (^f‘) . la cual corresponde a la sostenibilidad de la solución homoclínica en el sistema perturbado (46), conocido como la ecuación KdV-KS"

-_r,+ ./+ £ (¡i^ + n_w) = í). equivalente al sistema tridimensional siguiente

La restricción de (48) a su variedad crítica corresponde la siguiente gráfica

Mo = |( "-*r)/ir = a - j Para ( u. n ) ~ Mu en un conjunto compacto, de (49) tenemos el siguiente sistema restringido:

Se trata de sistema un Hamiltoniano, que hasta en orden o ( ■) es el siguiente:

S¡ ¿ = ii. iU' f[.r.u) = i» obtenemos por el teorema de la función implícita, una curva /«(y/), tal que en <»•/(» («/).«)

donde \I = {(./•. y) /x = ni (a), u ^ »/}: en este caso observamos que el sistema (53)usamos el blow up (cambio de

Para obtener implícitamente. La superficie M, tal que si S es la superficie de puntos críticos de (55), tenemos que para r existe una intersección no trivial

lejos del equilibrio lascuivas de la intersección (56) son u~ = /i~ (r. - ) . Y = h⁺ 0'- :)■ respectivamente; la separación <7 (r. - ) entre estas variedades ir* (.V) Y U " (S) es:

con .\/ (< ) = *> corresponde a la continuación homoclínica u_c(\./r). con la condición generica M (' ) / A continuación probaremos que

En efecto, recordamos que la ecuación variacional dZ = DF ( :) >1Z se puede escribir como

_ OF (■.)(!: (/>) con </:(/<) = (A-A.....sobre lo cual definimos el producto exterior con sus

(,IZ,,. A./Z„)(<•,.<•.>)= ./7,,. (n).//f,, (ó)-<!/!,,(r-2).IZ„ (h); (58)

Los tres vectores lineal independientes y tangentes en t = i» a u -no »P‘(s)

(61)

((>2)

i i (í/í¿ A til.' A <l< I (fí i, ii) = tt-

| il tt - r/f¹ A r /f f = y í- ^ a -- ^ 1 I —--.zz ^ ^

rrW = (*. *< 1* O)

f,'₂/ - (V. íl -

r¡¡) EntuíicL-'í -Ule) — — y i Para obtener la forma final de (57) usamos la siguiente expresión

En este proyecto de investigación hemos obtenido los resultados da la dinámica cualitativa sobre el modelo KdV, están escritos en forma de teoremas y en gran medida son descripciones matemáticas originalmente publicadas en ente artículo, y estas son:

1. La ecuación KdV tiene soluciones homoclínicas simétricas hacia una silla resonante; estas son soluciones solitónicas del tipo "orbit Flip" (Teorema I).

2. La órbita solitónica U, puede generar una multiplicidad de órbitas periódicas en sus proximidades, dependiendo de que el parámetro sea cero, o no. Esto se consiguió resolviendo el problema de valores propios, equivalente a las continuidades homoclínicas, a través de la teoría de las funciones de Evans (Teorema II) y un concepto de índice homotópico.

3. El modelo KdV tiene una versión que permite realizar control sobre la velocidad y sostenibilidad de las ondas solitónicas, es el modele KdV-SK (Teorema III).

Obtuvimos así una descripción analítica y generalizada de las Bifurcaciones globales de la familia de los sistemas KdV y sus aplicaciones.

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[ II — 1II
V = rV
\| IV = i w	(54)
[ rt — T
campo vectorial singular siguiente:
¡1 — ;v
v — ztr
₌ 4.	(55)

		t \	\ . *
" - — + vi	V-	l + }	-f'l(-)
- >	l		f