ARTÍCULO DE INVESTIGACIÓN
UN SISTEMA DINAMICO DISCRETO ASOCIADO AL NÚMERO AUREO
Luis Arturo Polanía Quiza*
Resumen
Inicialmente, en este trabajo se obtiene una sucesión de estimaciones del lado del decágono regular inscrito en una circunferencia unitaria que converge hacia el número áureo; la cual a su vez, permite obtener el sistema dinámico discreto ( [0,1] , f ) siendo f (x) = ^ la ley de evolución del sistema. Finalmente, iterando la ley de evolución un número suficientemente grande y evaluando estos iterados en cualquier punto de [0,1], encontramos una infinidad de sucesiones de elementos de [0,1] con la propiedad de Cauchy, y todas convergentes hacia el número áureo V 5-i_. De paso, demostrándose así la completez del espacio de fases [0,1] con la métrica usual. 2
Palabras claves: sistema dinámico discreto, procesos iterativos, espacio de fases o espacio de estados, variables de estado, ley de evolución del sistema, orbita de un punto, punto fijo.
A DYNAMIC DISCRETE SYSTEM RELATED TO THE AUREUS NUMBER Abstract
At the beginning of this work, it is obtained a succession of estimations of the regular decagon’s side which is inscribed in an unitary circumference. This one converges on the aureus number. At the same time, this succession is useful to obtain the discrete dynamical system ( [0,1] , f ). Being f(x) = -j+x the law of evolution of the system. Finally, it’s iterated the law of evolution a number sufficiently high and evaluated these iterates in whichever point from [0,1]. As a result, we find an infinity of successions of elements from [0,1] with the Cauchy property. All these successions converge on the aureus number . In this way, it’s demonstrated the completeness of the space of phases [0,1] with the usual metric.
Key words: discrete dynamical system, iterative processes, phase space or state space, state variables, law of evolution of the system, point orbit, fixed point.
Artículo recibido: 10/11/07 Aprobado: 06/05/08
*Luis Arturo Polanía Q., Profesor de la Universidad Surcolombiana, lapola@usco.edu.co - Grupo de Investigación DINUSCO FACIEN.
ENTORNOS, No. 21. Universidad Surcolombiana. Vicerrectoría de Investigación y Proyección Social, 2008, pp. 61-65
|
Introducción
Los Sistemas Dinámicos Discretos se pueden ver como modelos matemáticos para describir procesos que evolucionan en el tiempo que recorre los números enteros. En contraste con las ecuaciones diferenciales, estos modelos se adaptan bien a situaciones donde ocurren cambios en tiempos específicos en vez de continuamente.
El estudio de los sistemas dinámicos discretos implica directamente el proceso de iteración; que significa repetir un procedimiento u operación muchas veces. Este proceso repetitivo involucra la aplicación de una función matemática. Por ejemplo, el método de Euler, el método de Newton para encontrar raíces de polinomios, la ecuación de Malthus para estudiar la evolución de la población de una determinada especie, la parábola logística de May que Robert May formuló para estudiar el crecimiento de una población de insectos en un ecosistema cerrado, etc.
Desde un punto de vista matemático, un sistema dinámico discreto es una ecuación de la forma
xk+1 = f(xk ), con k = 0,1,2,...
donde f es una aplicación f: X^X definida en cierto conjunto X, que recibe el nombre de espacio de fases o espacio de estados. Esta función por lo menos, debe ser suave, es decir, con derivadas continuas de todos los órdenes.
Las variables que describen un sistema, se llaman variables de estado y almacenan la información completa acerca del estado del sistema.
La ecuación del sistema dinámico discreto puede interpretarse como sigue: si el sistema adopta en un instante
k un estado descrito a través de un cierto elemento x e X,
k '
entonces en el instante k + 1 el estado del sistema será xk+1 = f (xk). La función f representa la ley de evolución del sistema dinámico, que transforma cada estado en el siguiente estado que el sistema adopta. Si el sistema se encuentra en un estado inicial x0 , su evolución temporal es la sucesión x0, x1, x2, x3, ... llamada solución con condición inicial x0. Se obtiene recursivamente, x = f (xü), x= f 2(x0), y en general x=fk (x).
El conjunto de valores {x0, / (x0), /2 (x0), /3 (x0),...} recibe el nombre de órbita de x0. Para el caso que nos |
|
ocupa, un sistema dinámico discreto unidimensional, el análisis gráfico ayuda mucho para entender la conducta global del sistema. Para trazar la órbita de un sistema dinámico discreto. |
 |
Figura 1: Diagrama de un lado del decágono regular inscrito en una circunferencia unitaria y los triángulos isósceles semejantes OAB Y CAB.
se dibuja en los ejes coordenados un gráfico de f, se traza la diagonal y = x y se procede con los iterados. El punto de corte del trazo de f con el trazo de la diagonal corresponde a un punto fijo de f. En nuestro caso, el punto fijo es único y atractor y coincide con el número áureo.
Construcción del sistema dinámico asociado al número Áureo
Se inicia esta construcción con un lado de un decágono regular inscrito en una circunferencia unitaria. Nombramos con x la longitud del lado en mención y utilizamos el triángulo isósceles obtenido de lados iguales de longitud 1, y lado desigual de longitud x para trazar la bisectriz a uno de los ángulos de 72o y obtener así un nuevo triángulo isósceles de lados iguales de longitud x y lado desigual de longitud 1-x; resultando estos dos triángulos isósceles, ser semejantes según semejanza ángulo-ángulo-ángulo (Figura 1).
Al ser semejantes, los triángulos OAB y CAB, se puede establecer la siguiente proporción
|
1 * |
 |
donde x representa la longitud de un lado del decágono regular. |
donde /: [0,1]—» [0,1], definida por ffó) = —
i-i-*-
para cada xe [0,1]. Obteniéndose así el sistema dinámico
discreto dado por (6) asociado al número áureo x; puesto
que el número x corresponde exactamente al punto de
En consecuencia, (2) genera ^ la siguiente fraraón corte de la diagonal y=x con la gráfica de la ley de transición
continua simple infinita correspondiente a la longitud del de estados f (x) en el espacio de estados [0,1]. En efecto, lado del decágono regular
, n no pertenece al espacio de estados
|
/(¿O +x— 1 = 0 — A |
 |
|
-i—, =
2, |
A partir de la fracción continua simple (3) se puede pero ■, ■ -
obtener una sucesión de estimaciones del número x, a [0,1 ]. Luego, el número áureo es el punto fijo de/
sa^er: (Figura 2). z
donde a es el n-ésimo número de Fibonacci.
n
Por lo tanto, de (4)
 |
|
esto es,
_/O 11235 S 13 " "eN ~~ \l'l'2'3'5’8'l3'2l' "’/ la„. J |
Figura 2: Gráfico de la función f(x) = ^— y el punto
Obsérvese que como f es una función continua sobre [0,1], el Teorema de Brouwer garantiza la existencia de por lo menos un punto fijo de f en [0,1].
|
con n = 0, 1, 2, 3, ...
En consecuencia, (5) nos dice que x n+1 está en función de x , esto es,
x„+1 n= ^ 1 ^ 3, .... (6) |
VB-1
Además, es claro que
caracteriza por ser atractor. Pues la sucesión de iterados de cualquier punto x* e [0,1] ,converge hacia él. Esto es,
llm* 1DS r\x') - ^ para todo x g [0,1] (Fig. 3). |
Conclusión y ejemplos
El sistema dinámico discreto obtenido (6), nos permite encontrar una colección de sucesiones de Cauchy de números reales en el intervalo [0,1] todas convergentes hacia el número áureo .
Ejemplo 3.1 La sucesión de iterados
corresponde a la órbita del punto 0, y converge al número áureo (Figura 4).
|
Figura 3: Gráfico que muestra la convergencia de la sucesión de iterados de cualquier punto al punto x* e [0,1] fijo atractor jlzl .
En efecto, si se tuviera jt:: . '; = ;? =
con fie [0,1] , se tendría "
en virtud de la continuidad de la f . Luego, se tendría fifi) = lo que contradice el hecho de que es el único punto fijo de f en [0,1]. 
Figura 4: Muestra la convergencia de la órbita de 0, y converge al número áureo Vg- 1 .
2 |
Ejemplo 3.2 La sucesión de iterados ’1 4 5 9 14
/i 4 a y 14 \
corresponde a la órbita del punto -, y converge al mismo número (Figura 5). 
Figura 5: Muestra la órbita de - convergiendo al número áureo.
Ejemplo 3.3 La sucesión
corresponde a la órbita del punto 3 e ,y converge al mismo (Figura 6).
2 |
 |
|
¿U 3¡2- |
Figura 6: Muestra la órbita de ^ convergiendo al número áureo. '
Referentes Bibliográficos
BLANCHARD, P., DEVANEY, R. and HALL, G. ROBINSON, C. Dynamical Systems, Stability, Symbolic Ecuaciones diferenciales. Thomson (1998) Dynamics, and Chaos. CRC Press (1995)
MARTIN, M., MORAN, M. and REYES, M. Iniciación al KUSNETSOV, Y Elements of Applied Bifurcation Theory. caos, Sistemas Dinámicos. Síntesis, S.A Springer-Verlag (1995)
6 5
