REVISIÓN DE TEMA
UTILIZACIÓN DEL CONCEPTO DE SÍMIL EN LA ÓPTICA GEOMÉTRICA
Hernando González Sierra* José Miguel Cristancho Fierro** Justo Pastor Valcárcel Montañez***
Usamos el concepto de símil para deducir la ley de Snell de la óptica geométrica a partir del principio de Fermat y del principio de mínima acción.
Palabras clave: Concepto de símil, ley de Snell, principio de Fermat, optica geométrica, principio de mínima acción, símil estructural, enseñanza de la física.
USING THE CONCEPT OF RESEMBLANCE IN GEOMETRICAL OPTICS Abstract
We use the concept of "simile” to deduce the Snell law of geometrical Optics, starting from the principle of Fermat and the principle of minimum action.
Key words: concept of “simile”, Snell law, principle of Fermat, geometrical optics, principle of minimum action.
Artículo recibido: 12/02/09 Aprobado: 15/04/09
* Doctor en Ciencias con especialidad en Física. E-mail: hergosi@hotmail.com. Profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Surcolombiana. Neiva. A.A 385. Colombia.
** Doctor en Biofísica. E-mail: micrista @usco.edu.co. Profesor de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Surcolombiana.
*** Doctor en Ciencias con especialidad en Físico-quimica. E-mail: jupaval@gmail.com. Profesor de la Facultad de Educación, Universidad Surcolombiana.
ENTORNOS, No. 21. Edición Especial. Universidad Surcolombiana Vicerrectoría de Investigación y Proyección Social, 2009, pp. 57-62
Matemáticamente se expresa este principio como sigue: el tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia
L en un medio dado es
n(L)dL
dt
La cantidad ndL se denomina longitud del camino óptico, dr, de tal forma que
(1)
t = —
donde v es la velocidad de la luz en ese medio (suponemos que la velocidad de la luz es constante en todo el medio, sin importar la dirección de desplazamiento). Definiendo el índice de refracción como |
cuando el rayo de luz marcha a través de un medio de índice de refracción estratificado, el índice de refracción en general es dependiente de la posición. |
Entonces, el tiempo empleado por la luz en ir del punto A al punto B es
(2)
n =
En la ecuación anterior c es la velocidad de propagación de la luz en el espacio vacío (c= 3x10 m/s). De las ecuaciones (1) y (2) obtenemos t_nL (3) c (6) En el caso más general el índice de refracción n depende de L, como en el caso de un medio estratificado, de tal forma que la ecuación (3) para desplazamientos infinitesimales de la luz en un medio de índice de refracción n(L), puede ser escrita como |
1 rB í = -f n(L)dL c Ja Como el tiempo debe ser un valor estacionario respecto de la trayectoria de movimiento de la luz, podemos escribir 8¡*n(L)dL=&l*dr = 0 La expresión anterior es la forma que adopta el principio de Fermat. Ahora usamos el principio de Fermat para deducir la Ley de la refracción de Snell. |
Figura 1. Un rayo de luz pasa del punto A del medio 1, índice de refracción n1, al punto B del medio 2, índice de refracción n2. La distancia horizontal entre los puntos A y B es a y la distancia vertical es h1 + h2, Igualmente, la distancia horizontal entre el punto A y el punto de incidencia O es s.
p |
R |
Figura 2. Una porción de onda incidente en un medio de índice de refracción n1, representada por el frente de onda AP penetra a un medio de índice de refracción n2. El frente de onda transmitido está representado por el frente de onda BB'. Mientras el extremo P del frente de onda incidente recorre una distancia v1t , el extremo A del frente de onda transmitido recorre una distancia v2t.
senty1
(10)
V
(11)
V2{
V2{
(12)
En un tiempo t el frente de onda desde P recorre la distancia v1t y alcanza el punto B sobre la línea AB que separa los dos medios, mientras que la porción del frente de onda en A recorre una distancia v2t hasta el punto B' ubicado en el segundo medio. El nuevo frente de onda no es paralelo al frente de onda original AP debido a que las velocidades de propagación de la luz en los dos medios, v1 y v2, son diferentes.
Usando el triángulo APB, que es recto en P,
El ángulo ^ es igual al ángulo de incidencia 01 por tener sus lados respectivamente perpendiculares. Ahora del triangulo AB‘B se obtiene
Siendo 02 el ángulo de refracción. Igualando las ecuaciones (11) y (12) obtenemos
sen6l _ serfá2
senty^ será) i
sen§2 send2
AB= v'‘
_ Vi* AB
AB =
(13)
De donde se obtiene
Teniendo en cuenta en la ecuación (13) que y
C
llegamos al resultado
«2
n1serfá1 = n2serfá2 (14)
La cual es la ley de la refracción de Snell.
5. Conclusiones
En las dos secciones anteriores hemos obtenido la ley de Snell a partir del principio de Fermat y del principio de Huygens, lo cual muestra la equivalencia de estos dos principios en el contexto de la óptica geométrica. Como los dos principios operan en un mismo campo de la Física decimos que ellos son símiles estructurales (término acuñado por los autores).
El término símil estructural se refiere a que dos principios, aparentemente distintos, dan cuenta de un mismo efecto, que en este caso es la ley de Snell.
En otros campos de la Física se pueden encontrar ejemplos de símiles estructurales. Veamos:
1) El Principio de D'alembert y el Principio de Hamilton en la formulación Lagrangeana de la Mecánica (Goldstein 2002).
2) El principio de conservación de la energía y las leyes de Kirchhoff en circuitos eléctricos (Halliday 1994).
3) La mecánica ondulatoria de Schrodinger y la mecánica matricial de Heisenberg en la Mecánica Cuántica (Cohen et al. 1977).
Referentes Bibliográficos
Cohen, C. et al. 1977. Quantum Mechanics. Vol. 1. Londres: John Viley. Corben, H. C, and P. Sthele. 1994. Classical Mechanics. New York: Dover Publications.. Duit, R. Y., and J. Wilbers. 2000. On the benefits and pitfalls of analogies in teaching and learning physics. Paris: Physics Teacher Education Beyond. |
Fernández, I. et al. 2002. Visiones deformadas de la ciencia transmitidas por la enseñanza. Revista Enseñanza de las Ciencias 20, No. 3: 477-88. Goldstein, H. et al. 2002. Classical Mechanics. Tercera ed. México: Addison Wesley. González, H. et al. "El uso de analogías para fortalecer el pensamiento creativo”. Encuentro Nacional de Grupos de Investigación registrados y reconocidos por Colciencias en el área de Educación. Neiva, Mayo de 2008. |
González, M. J. 1997. Aprendizaje por analogías:análisis de procesos de inferencia analógica para la adquisición de nuevos conocimientos. Madrid: Trotta. Halliday, D. et al. 1994. Física. Cuarta ed. México: Cecsa. Hecht, E. 2000. Optica. Addison Wesley Iberoamericana. México D.F. Linares, R., y M. Izquierdo. 2006. El rescate de la princesa encerrada en lo más alto de la torre: un episodio para aprender sobre analogías, símiles y metáforas. Revista del Hombre y la Máquina 27 (Julio-Diciembre): 24-36. |
Moro, R. et al. 2007. Aprendizaje de los conceptos de masa, peso y gravedad. Investigación de la efectividad de un modelo analógico. Revista Eureka sobre enseñanza y divulgación de las ciencias 4, No. 2: 477-88. Oliva, J. M. et al. 2001. "Una propuesta didáctica basada en la investigación para el uso de analogías en la enseñanza de las ciencias”. Revista Enseñanza de las Ciencias 19, No. 3 (Septiembre-Diciembre): 453-70. Tipler, P. A. 1999. Physics for scientists and engineers. Cuarta ed. New York: W.H. Freeman and Company. Tippens, P E. 1996. Física:conceptos y aplicaciones. México D.F.: McGraw-Hill. |
62