Introducción

Este artículo de investigación corresponde al proyecto "Bifurcaciones y Aplicaciones Interdisciplinarias en los Sistemas Dinámicos Sobre Fenómenos Mezclantes con Reacción No-Lineal y Advección", en él explicamos los procesos dispersivos a nivel macro a través de modelos de transporte del tipo reacción y advección no lineales con explicación determinística, o a través de caminos aleatorios. El primero es una ecuación definida en un espacio de Hilbert dado por: donde A es un operador sectorial, esto significa que tiene un autovalor j ₀ = 0 simple y aislado, y los otros autovalores están en un sector delimitado entre ángulos determinados; B es un operador lineal y autoadjunto, corresponde a la advección; f es una función no lineal. Para esta ecuación encontramos una solución del tipo onda viajera, por métodos análogos al modelo de difusión - reacción no lineal del tipo

U[ = u_xx+F(u)

F{u) = u(u — a) ■ (u — 1) con 0 < a < i.

Demostramos que la variación espacial de la solución del tipo onda viajera corresponde a un autovalor simple j ₀ = 0, la cual es estable.

El modelo de explicación por un camino aleatorio se expresa mediante la siguiente ecuación de transporte,

du

= Difusión - Transporte - Decaimiento + fuente

dt esto es

= — A,(v)tí+ f T(v,v )\(v^r)u(x,v j)dv . OX    J v

Ecuación que explicamos en términos de operadores apropiados definidos en un espacio de Hilbert. El operador asociado a este modelo tiene también un autovalor p ₀ = 0, el cual es simple, el resto de autovalores permiten expresar el operador como una suma de proyecciones en sus autoespacios.

En ambos casos en el límite, obtenemos modelos de Reacción - Difusión - Advectivos, los cuales tienen soluciones del tipo onda viajera, cuyas variaciones espaciales resultan estables.

1. Antecedentes

Podemos obtener un modelo básico consideramos el ejemplo de la contaminación en un entorno hídrico como el siguiente,

esta conduce a la ecuación de difusión C, = DCXX equivalente a _9? _ n 9c, en [Ga] se encuentra que la solución 9.V ” r)l

donde Q es la masa de agua con frontera 3Q, la cual suponemos suave. La razón de cambio continuo de masa está dada por el flujo a través de 3Q, la cual se resume en la siguiente ecuación de continuidad:

donde dv es la integral de volumen; ds es integral de superficie, n es la dirección normal a 3Q; * = -kVu+pv, donde v es la velocidad intercambio con el medio.

Obteniendo la siguiente ecuación ^ = gradiente [—a_u y ti] — divergencia [v ■ a] — c7„u + f (tt)

“lan=* ,

la solución u{x, f): n de contaminación.

Esto es,

es la concentración

En particular cuando _q = donde q es el flujo y

Siguiendo un modelo aleatorio se obtiene la siguiente ecuación de reacción y transporte:

2. Un Caso Singular en r

Consideramos modelos del tipo advectivo no lineal y difusión no lineal singular por cuanto e ^ 0, como el siguiente

donde la solución u(x, t) es una distribución de densidad y w es el campo de velocidades dada por la advección de los individuos. Si hacemos

rx

u[y)dy y v = u(y)dy

-oo    J — oo

obtenemos el siguiente sistema:

de lo cual se obtiene un estado de reposo v₀ dado por

1 +tan ( ^— *o)

para un valor inicial x₀; con correspondiente solución u₀ dado por

En particular, para u_t +V (Vu - DVu) = f(u) en un intervalo (t₀, t) + T), existe una solución del tipo

u(x,t) = e^at+ikx, g con geX

De cuya sustitución obtenemos el siguiente problema de autovalores para f (u) = 0,

Así que para e > 0 es un problema con valor inicial en L_p r (p= 1,2).

u es la solución de la ecuación de evolución para k pequeño y c(k) ubicado tanto como sea posible, a la derecha en el plano complejo. En efecto, para obtener la solución asintótica de (2) usamos las expansiones

(A - ¿M⁴ I <go>± es negativamente definida (el espectro está sobre el eje real y a la izquierda de po), y obtenemos:

<{B wf) ■ go,0* - Hü!)~¹ • (fi - W/) ■ £₀ > ₍₉₎

^D =-W-^t9)

Dado que g₀ = g₀*, entonces D existe y es positivo.

4. Caso en i²

En [Gb] para el problema de reacción - difusión mezclante se tiene que

w= Wm + F(w), con F(w) = ro(ro -1) (w - a) con 0 < a < l.

La ecuación diferencial ordinaria (12) tiene este tipo de solución para n = V2(1/2 - a) [Ga] y esta es dada por

Solución que satisface 0₁ ^ 0 cuando z ^ -^ y 0₁ ^ 1 cuando z ^ +«>.

En (12), si hacemos a₁ = a₂ con y =

obtenemos

donde X es un espacio de Hilbert, A: D(A) c X ^ X un operador sectorial; B. X^ Xun operador lineal autoadjunto; f: X^ Xdado por f (u) = u(u-a) (u-l) con 0 < a < 1.

En particular para

con /;, b2. más exactamente b} = 2 +b2 para coordenadas viajeras z = x - (c+ bl - 1), con u' - ^

obtenemos la siguiente ecuación diferencial ordinaria

Teorema 1. U_1z(z) es una solución estable del

linealizado de (14) en torno de U_x{z) en L0i ).

Prueba. El linealizado alrededor de 0₁ (z) para (14) es

-AU_l^U_lu + uJ^^t^^+F_u(0_i)U_l^; (15)

V 2(1 —c^z)

además U_1z es solución de -AU₁ + XU₁ = 0 para X = 0.

Al variar X en el plano complejo puede existir un corte con el eje imaginario en (ik), así que el polinomio característico asociado con (15) es:

x—±£m₊f(_Zl

v^/2<T^^í) de donde se deduce:

esto es,

5. Modelos con Velocidad de Salto Aleatorio

Surge en poblaciones o distribuciones de partículas cuyos saltos son controlados por procesos de Poisson; en estos casos aproximamos la difusión mediante la siguiente ecuación de transporte:

(21)

-XP(x,v,t) — X j T(y,v')P{x,v'.v)dv Jv

(18)

Así que el espectro esencial de A está a la derecha de la parábola (18); más específicamente derivando f (0₁) = 0₁ (0₁ - a)(0₁ _ 1), cuando 0 < a < 1; y teniendo en cuenta que 0₁ 0 cuando z -*>, entonces f '(0₁ ) ^ a; también f '(0₁ ) 1 - a porque 0₁ 1 cuando z

Así dicho espectro esencial para las ondas viajeras en el infinito está a la derecha del mín {a, 1 - a}.

Ahora consideremos los auto valores X de A, resulta que si Re(X) < 0 para alguna solución v del problema de valores propios

(19)

+ /^r,(0i)v+Xv , con 0 < c < 1;

de (13) tenemos que v e Z,²(k ) decae hacia cero al

menos como O(e^cz) y por ello

y(z)-v(z)-eí^z    (20)

decae exponencialmente cuando \z\ <».

Observamos que y(z) satisface el siguiente problema autoadjunto,

J>zi + [ /{0i) + X- — )y = 0 ,z€.

donde í\x,v,t) es densidad de partículas en xe ü. c mⁿ, ve Vü. c k ¹¹, para t > 0 es la velocidad del movimiento; X es la razón de retorno cambio de velocidad (7 la distancia media entre saltos).

T(v, v') es la probabilidad de que la velocidad de salto cambie de v’ para v, para ello se exige que

jv T (v, v') dv = 1.

Sea Kun cono de funciones en L²(V), y para cada (x, t) definimos el operador

	con adjunto
Si damos la hipótesis de que

Para algunos 0, y e K no nulos en un conjunto de medida cero, u₀ ¿ 0; además suponemos que ||t||_<1:>_l < 1 con < 1 ^ es el subespacio igual al complemento ortogonal de < 1 > en L²(V).

Entonces t, t’: K ^ K, dado que 1 es el único autovalor simple positivo correspondiente a u₀.

Llamamos al operador £ F\v) =    XxP{v}, así

éste operador se puede factorizar como £ = G.H

Además cero es el único £ autovalor positivo de Uq(v) =1; por (21) los otros autovalores [¡ son tales que -2À < Rep < 0. Si Á(i/) es nula en un punto de Q, la inversa de H es no acotada.

El Kernel de £, íA£(£), contiene un conjunto ortogonal completo si £ es simétrico, y obtenemos L²{V) = <1 >-^L® <1 >; por ello para \j¡¥= 0, i>2, tenemos proyecciones

las cuales descomponen ortogonalmente el operador £ así:

Para el caso particular para el cual xeOCR, P(x,v,t) el en (21), podemos solucionar la ecuación (21) usando transformadas de Fourier del tipo

Reemplazamos (22) en (21) como en (2) - (9), garantizamos la existencia de cantidades finitas v* y D* en

a (k)= -ikv* -D*k²+...,

con

y obtenemos una solución p de la siguiente ecuación de difusión - advectiva:

(23)

con s la velocidad característica. Haciendo

L = o(l/_e) y ^ = 0(l/e²) uñemos que (21) se

transforma en (24),

Asumimos que (24) tiene soluciones expandidas en términos de e,

k+1 i

P(Ç,v, t) = Ef₌₀P_í(^,v,x)eⁱ + 8^/í+1f5t₊i

obtenemos un sistema según el orden de e, así:

usando condiciones de solubilidad para las distintas potencias obtenemos que

esto es,

En sistemas dinámicos sobre dinámica de poblaciones P(x; t), el modelo (21) se puede generalizar así:

Si hacemos f (P) = m(P)P - g(P)P, vemos que el sistema (25) acopla una ley de conservación con el flujo del gradiente:

un caso fácil de resolver es el caso límite t = 0.

Ejemplo 1. Sea y =_sSⁿ~\ T{y,V) = ^ con X constante; se puede encontrar que 3 es -X^¹.

Ejemplo 2. El sistema parabólico de Patlak - Keller -Segel, P.K.S en [K-Se] es dado por

u, = V(DV«-X(5)V^)

QS,=BAS + f(S,u)

y describe la propagación poblacional donde: u(x, t) es la densidad poblacional; S(x, t) son los efectos externos; el signo ^ o depende de la especie; f{S_r u) es la propagación espacial. Como 0>O se observa que u y S se desarrollan en diferentes escalas temporales.

En [Hi-St] se da la siguiente alternativa unidimensional hiperbólica a partir de caminos aleatorios, donde

u^±, X^±se refieren a movimientos hacia la derecha o hacia la izquierda: vía el cambio de variables u(x, t) = u+(x, t)+u^-(x, t), j = v(u+ - u^-) obtenemos el sistema

3 u , dj_^

dt + óx - ^u | _{+ 2}=

con condiciones iniciales u(x₀) = u₀(x), j(x₀) = j0(x); y de este último sistema se obtiene la ecuación del telégrafo

Conclusiones

1.    Encontramos que las soluciones del tipo de ondas viajeras para el primer modelo son estables, análogo a lo que sucede en la ecuación de Reacción-Dispersión No-Lineal.

2.    Para el segundo modelo, el cual proviene de difusión aleatoria, también tiene una solución estable asociado al valor propio simple u₀ = 0.

3.    En ambos casos resulta muy útil el método espectral de la transformada de Fourier.

4.    Los dos modelos pueden provenir de: los procesos de crecimiento poblacional, dispersión de procesos ambientales, propagación de enfermedades, entre otros. Estos modelos corresponde a procesos interdisciplinares.

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