ARTÍCULO DE REFLEXIÓN

BIFURCACIONES EN MODELOS SOBRE IDENTIFICACIÓN DE PATRONES

BIFURCATIONS IN MODELS FOR PATTERN IDENTIFICATION

Mauro Montealegre Cárdenas, Jasmidt Vera Cuenca, Gustavo Londoño Betancourth¹

Resumen

Existe una relación muy importante entre los estudios de los fenómenos interdisciplinarios y la metodología de identificación de patrones, porque esta ayuda a entender mejor el mismo fen'omeno. Por eso presentamos en este articulo una descripción analítica de los conceptos básicos de la teoría de reconocimiento de patrones, ilustrando y describiendo las bifurcaciones de modelos genéricos que han surgido en los últimos años en diversos campos del conocimiento.

Palabras claves: Identificación de patrones, linealización homogenea, ecuación de amplitud, ecuaciones de fases, bifurcaciones.

Abstract

There is a very important relationship between the studies of interdisciplinary phenomena and research methodology patterns, because this helps to better understand the same phenomena. For this reason we present in this article an analytical description of the basic concepts of the theory of pattern recognition, illustrating and describing the Bifurcations of generic models that have emerged in recent years in various fields of knowledge.

Key words: identification of patterns, homogeneous linearization, amplitude equation, phase equation, bifurcations.

2. Modelos Básicos sobre Identificación de Patrones

Revista ENTORNOS Volumen 26. Núm. 2. Septiembre de 2013

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El uso de las señales ambientales es también un factor omnipresente en desarrollo de la planta. Por ejemplo, el desarrollo de las plantas trepadoras se guía por la geometría de su apoyo.

ii) Identificación de Patrones en Ecuación de Reacción-Difusión Primero nos referimos a fenómenos que corresponden al siguiente modelo

d_tu = d%u + F(u) con F(u) =eu- gu³ - hu⁶ (1)

donde g = ±1 y asumimos que existen soluciones del tipo onda viajera como la siguiente,

£ = x — ct, para c > 0 lo cual hace que la ecuación (1) se convierte en la siguiente ecuación

dfyu + £d(ti + F(u) = 0 (2) con dos soluciones asintoticas

u(£ -)■ -oo) = u₃ y u(£ +oo) = uo ;

se observa que u = u_a se traslada hacia uq = 0, como se ilustra en la siguiente figura 3,

J V

\

Figura 3: Ondas viajeras

En (1) si g = +1, corresponde a una bifurcación supercrítica, si g = — 1 corresponde a una bifurcación subcritica tal como se ilustra en las siguiente figura

4,

Figura 4: a) Bifurcación Supercrítica ; b) Bifurcación Subcritica

Para estudiar las bifurcaciones del sistema (1) en torno del parámetro e = 0, establecemos la siguiente analogía:

F<») % , (3)

donde </>(u) es una función potencial y si además colocamos los cambios de var

. ,, , ™    ,    ¿<t> d<p(X(T))

nables £ -¥ T, u -»■ X, obtenemos -r- = —, _w_. .

du aX (1)

En los dos casos, supercríticos y sub críticos la recta e = a, respectivamente, corresponde a los siguientes potenciales ilustrado en la figura 5 al pasar “c” a través de c = 2y/e.

Figura 8: Identificación de patrones para un sistema de Turing bidimensional

v) El modelo de quimiotaxis de agregación celular corresponde al siguiente sistema no lineal:

í«t = Mu_Xx (^Cx)x ⁼ D&cx c + p(w)

donde u y c son las concentraciones celular y del quimioatractor; en particular g(u) = j-j-j- con las siguientes condiciones de frontera

0 = u_x = Cx en x = 0,1 para t > 0 ;

resultando el estado de equilibrio no trivial (uo, co) y relacionamos su estabilidad con las siguientes normas,

h(u) = max_x€|₀,i||Ux| V N{u)= u(x )dx ;

J 0

las cuales tiene los siguientes significados: N(~rf) es el número total de células presentes y se observa que —N(u(t,x)) = 0 implica que uy c son espacialmente uniformes.

De la primera ecuación de este sistema (6) tenemos que

u(x) = Ae^

donde A es una constante positiva porque u ^ 0, luego sustituyendo en la segunda ecuación del sistema (6) obtenemos

De" + G(c, A) = 0 (7)

con G(c, A) = g ^ + c.

De la ecuación (7) obtenemos el siguiente sistema bidimensional en el siguiente espacio de fases con variables (c,p),

( C = p

W—^

con las condiciones de frontera p = 0 en x = 0,1.

Por las condiciones de fronteras existen tres equilibrios {ci, 02,03}, dos sillas y un centro; resultando que el sistema (8) genera la siguiente configuración que se ilustra en la figura 9,

Figura 9: Retrato de fases para el modelo de quimiotaxis

vi) El modelo de Kuramoto-Sivashinsky corresponde a la siguiente ecuación con condiciones de frontera,

Ut Uxx "t" 'U'XXXX ■(" 2 0**) — ®

[O < x < L, u(0, i) = u(L, t), u_x(0, t) = u_x(L, t) ; expresamos (9) en coordenadas de Fourier con respecto a “x”, y obtenemos,

Ut(k, t) = fc²(l — k?)u(k,t) ,

donde el número de ondas ^íq” con |g| < 1 y |g| = —j= es el número de ondas del

V ^

más rápido crecimiento lineal.

También representamos la solución tt(x, t) de la siguiente forma

u(x,t) = y^a_q(t)<¡>_q(x) ,

es una combinación lineal de <f>_q{x) = exp    soluciones linealmente in

dependientes de (9), y cuyos coeficientes satisfacen la siguiente propiedad

a-flW = oj(í) »

donde a* es el complejo conjugado de a_q y además

2ni(k — í)x

04>k,4>i)= f    = f exp

Jo    Jo

este producto interno es ortogonal en L², y además,

|ao(í)| = |u(x,t)|dx; Jo

su tiempo promedio

1 f^T

^S(Q) = _Tl^a_f f J 12(9,01*! •

De otro lado, para l € Z en el espacio L¡2 obtenemos el siguiente sistema,

2    /e\ l \ 4    i /rv \ 2

. / 2nl \ (2nlV 1 (2

^0| - / ^a,+ ixJ ^a,_2ÍTj

2ni(x + j — l)

= 0

r^L

Jo ^exP

/ 2n ila \

siguiente ai = hi(ai,aj, 02,02',/^), con l = 3,4,5,... en el siguiente sistema:

¿í = + /¿j a_x - 2a}a₂ - 6a£/i₃ - 12/i5/i₄ - £_fc>₄ + l)/i£/i_fc+i

¿2 ⁼ 16/íoq "I" — 3aJ/i₃ — Sa^h^ —    ^)^k^k+2 5

colocando L = 27rm(l — ¿t) con m -C 1, obtenemos la siguiente ecuación de bifurcación

'1. * 1

ài = 16¿ta₂ - a_x - a₂ ( ^ l^ai| + jg M

la situación se repite y la variedad central es la gráfica ai = hi (a_m, a^), si l ^ m ó —m satisfaciendo /i_¿ = hj, a_m = /i_m (|a_m|²) en el siguiente sistema

¿_m = ma_m ^l^am|²^ +hm (laml²;^²) + 0(|o_m|⁴,M,...) ;

corresponde el siguiente sistema en coordenadas cartesianas reales,

1

%rn

Vm

el cual también resulta 0(2) invariante, es una 0(2) ecuación de bifurcación del tipo de Pitckford.

Para L = L_m la variedad invariantes dos-dimensional es el espacio tangente

donde

Lo - a - ( ) - 3v% )

donde Lo (—J = -J-~r~ =0, esto es —^ esta en el núcleo de Lo; integramos \ dx ) óudx    dx

(14) entre — — y -jr ^con respecto a x con L dado que uqx espacialmente periódico. Hasta términos de orden 0(e²) la ecuación (14) es ahora

, „ fduo , d³uo\ £P4> ftpuo , d⁴uo\ /'^\² /1c\

y del teorema de la alternativa de Fredholm tenemos:

[% du₀ f duo . d³uo\ (P<t> duo (d?uo . dⁱu₀\ ( d<¡>\²

L-sr{ih⁺-¡b^)w^⁺ib {*F⁺-d^){w) ‘^iI=0 • ⁽¹⁶⁾

Hasta orden 0(1) y cumple la condición de solubilidad. Análogamente se calcula el orden 0(e⁴), para obtener finalmente la siguiente ecuación de fases,

dT dY² dY* ^g\dY) dY² 1 }' con K y g constantes reales.

viii) El modelo de las dos capas: Epidermis y Dermis

El sistema transformado puede ser escrita en términos deiyz mediante las siguientes ecuaciones,

donde 6 y n son ahora funciones de a; y z\ 6(x,t) es la dilatación epitelial y n(x,t) es la densidad de las células dérmicas en la posición x en el tiempo t, tal como se ilustra en la figura 10,

Revista ENTORNOS Volumen 26. Núm. 2. Septiembre de 2013

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Figura 10: Una ilustración de las funciones de envolvente que representan cambios en la amplitud del patrón y en la densidad

celular media

Representamos a estos por las curvas envolventes normalizadas p(z), q(z), y s(z), respectivamente. La. última función s(z) es, estrictamente hablando, no un envolvente, pero por conveniencia se describe como tal. Las siguientes propiedades se atribuyen a estas funciones envolventes:

Ílím p(z) = 0 , lím q(z) = 0 , lím s(z) = 0

z—too    z~¥ OO    z—¥ OO    í 1 q\

lím p(z) = 1 , lím q(z) = 1 , lím s(z) = 1 .

Z—2—>00    2—>00

Asumimos además que la solución del sistema (18) se puede expresar como

0(x,z) =p (z)6_g(x,z) n(x, z) = q(z)[riG{x,z) - n_A] + s(z)(n_A - 1) + 1

donde Oq y na son funciones que se determinarán más adelante. El valor de n_t\ es la densidad media de células dérmicas cuando z —► —oo, esto es,

1 f^p

ua= lím — n(x,z)dx

z_»_oo p j_Q

donde P es el periodo del patrón de estado espacial constante en z = —oo. La motivación para soluciones de esta forma viene del examen de las soluciones ilustradas en la figura 10, en los que es evidente que las soluciones se puede aproximar muy de cerca por un patrón de longitud de onda espacial constante que tiene una amplitud que disminuye de forma monótona. Observe que la. función envolvente s(s) aparece en la expresión para n(x, z). Esto es porque la densidad celular media, ua, de la solución final no es necesariamente igual a la densidad celular inicial promedio n = 1, que es el valor de estado estacionario, el cual es debido a la expresión de crecimiento logístico en nuestra ecuación dérmica conservación de células, así como el cambio en el patrón de desarrollo. De hecho, en la versión simplificada del modelo que se considerarán más adelante, el término crecimiento logístico se hace cero y desaparece este término en la envolvente.

Para determinar las funciones nc(x, z) y 6c(x,z), se examina el comportamiento de la solución en el límite cuando 2 -* ±oo. Muy por detrás del borde de la perturbación, es decir, donde z y — oo. el sistema está en un estado estable espacialmente periódica, por ejemplo Si. Representamos a este patrón de estado estacionario por Si = (0s,(a:), íig, (x))^T, que es también la solución del problema no lineal z - independiente. Así, a partir de (19) y (20) se deduce que

Muy por delante del borde de la perturbación, es decir, como z —> rfcoo, el sistema está en el estado homogéneo estable So, donde So = (0,1). A medida que la perturbación se propaga en la región homogénea, el estado de equilibrio es perturbado y una solución espacialmente periódico comienza a evolucionar. Nos representan la forma de este patrón inicial de la dilatación y la densidad celular por las funciones 0s_o(x) y 0_no(z), respectivamente. En términos de las expresiones anteriores, (19) y (20), esto significa que

lím /Mz,2)\ ₌    .

z^-oo\nc{x,z)J ^«50(1,2)/

3. Conceptos básicos en la identificación de patrones

Para problemas sobre formación de patrones discretos generalmente tiene la siguiente forma analítica aproximada u en torno del patrón critico uo,

u(x, t) = A(t) ^ e^tqx± .uo(x,/) + c.c. + ... (21)

<3

en coordenadas de Fourier esta ecuación es

u = uoe^iqx+<rt + c - c

En el caso de que el fenómeno es descrito por una ecuación diferencial parcial

du

d_tu = F(u,d_x), se dice que es espacialmente homogénea si — = F(u, 0), con

. . coordenadas de Fourier respectivamente

dtÜ(q) = DF(u_c, iq)u(q) y ^u(t) = (L(t) + ikc(t) + k²D(t) + 0(\q\³)u(q)

Si u_c es una solución critica, hacemos u_p(x, t) = u(x, t) —u_c(x,t) y las variables espaciales x± son perpendiculares a Xn\ la ecuación de amplitud lineal asociada con (21) se describe básicamente en términos de la siguiente ecuación y parámetros,

dtA = a A

q-qo

e - - .

Qo

donde qo es el número de ondas critico y el coeficiente de dispersión es a = r^_1e + 0(e²), y r es un rescalonamiento apropiado; y la ecuación de amplitud de onda no-lineal es

d_tA = <7A + %A - j\A\²A + ... .

En el caso particular de la ecuación real de Ginzburg - Landau tenemos,

+ 0 , (22)

y escribiendo A = Re’⁶ obtenemos el siguiente sistema,

dT    OX² \dXJ _RM_₀dR69_ #l . dT dx ax⁺ ex' ’

de

haciendo -== = 0 y multiplicando la segunda ecuación por R se obtiene la siguiente ecuación,

-L(r²^ 1=0

dx íx! ‘ *²⁴'

y así el momento angular constante se obtiene mediante la siguiente expresión,

. (25)

El parámetro <r(x) de la primera ecuación de (23) varia de positivo a negativo; en la región donde cr(x) es negativo, solamente la solución nula es estable, así que R = 0 y entonces /i=0y obtenemos las siguientes relaciones,

<PR dV _w/m 1 _n2 1 ₂ h² dX² ” dR ^{COn V(} ^ ” 2 4 ⁺ IR?

y finalmente obtenemos,

1{§)^{2 + v}w^=e ■ <²⁶>

donde E es constante.

Si o(x) > 0 existen rollos estacionarios de la forma A = Roe^iqx con R% = a —q²,

dR

los cuales son como puntos fijos porque R = Ro y = 0; para tales situaciones

dX

tenemos que 0 < q² < a y entonces,

%) = - q²) (27) cuya gráfica se muestra la siguiente figura 11,

Si existe soluciones del tipo ondas viajeras tenemos A = a(^)e^ik°^cT con í = i + i'cyc>0, entonces en las variables

'a=\-A\,k = \1\-'ém

*=f

estudiamos la formación de patrones mediante la solución del sistema de ecuaciones diferenciales siguientes con respecto a —,

á = ka, k = —ck — 1 — k³ + k? + a K = -c(k - k°) - 2kK

cuyos puntos de equilibrio puede ser estable o inestable con conexiones hete-roclínicas.

En la mayoría de los casos la amplitud A_q(X,T) admite una solución del tipo ondas viajeras en coordenadas X, T; lo cual se obtiene haciendo: X = x (£o)^_^> T = (t (r₀))-i) , A_q = A(go)^\ para obtener la siguiente expresión

A_q(X,T) = a,e^í(9(x+<’>-^fVO, (29)

y satisface a la siguiente ecuación de amplitud con coeficientes complejos,

r₀d_tA = e(l + ícq)A + (1 + *ci)fo V/l - (1 - ic₃)g₀\A\²A. (30)

La ecuación de fases es la siguiente ecuación de derivadas parciales

d_t¿ = -ft, + aV^-/?(V*¿)²; (31)

con a = 1 — C1C3, fi = Ci +C3 donde Cl_q = — y Q_q satisface la siguiente relación

r₀íí, = -eco + ciilq² ~ ^c33o|a<j|² . (32)

Para el estudio de bifurcaciones en el plano (q, Recd(<r_q)), reemplazamos (29) en (30) y tenemos en cuenta las siguientes relaciones

w_q = —Im(a_p)

dw„ , . s = = 2(ci + c₃)q ,

donde “s” resulta ser la velocidad del grupo de ondas; entonces con los re-escalonamientos siguientes: A = e?, X = e?x, T = et, £ = X_SX_P, = e~?dx, = e~ (d_t + sd_x) obtenemos una expresión en variable compleja que simplifica la anterior ecuación de amplificación (33), esta es,

T₀(d_tA + sd_xA) = e(l -(- ico)A - (1 - ic$)g_Q\A\²A, y entonces explícitamente a (q) se obtiene en la siguiente ecuación, a(q) = -isq + T₀^_1é(l + ico)q - r₀^_1^( 1 + ic^q², (34)

con el valor crítico,

(sg^)))”⁰ •

Mediante la conceptualización anterior se obtiene los siguientes clases de inestabilidades básicas en la identificación de patrones, esto es, tipos de bifurcaciones:

i) Para números de ondas próximas del número de ondas cercanas al valor critico qo, obtenemos la siguiente ecuación de bifurcación,

^ [£ - £o(í - 9o)²] , (35) lo cual se ilustra en la siguiente figura 13,

ii) Para el caso de la simetría q —> —q, correspondiente a patrones de la siguiente forma

u(z,í) = A(t)e^iqx + A*(t)e~^iqx genera la siguiente ecuación de bifurcación

Real(a_q) = D (^q² - ^₀V) , (36)

cuya sucesión de gráficas se ilustran en la siguiente figura 14.

Figura 14: Bifurcación del tipo ii) simetría q —¥ —q

ni) El caso oscilatorio, cuando ^u<f atraviesa el eje vertical, se produce la siguiente ecuación de bifurcación:

fleaJ(a,)s*l[{-£₀V] , (37)

tal como se ilustra en la siguiente sucesión de gráficas de la figura 15,

Real (a.)

Figura 15: Bifurcación del tipo iii), esto es, del tipo oscilatorio

iv) Para el caso bidimensional continuo, esto es q € <0, el reconocimiento de patrones u(x,t) se identifica con la siguiente integral en variables complejas en la región que excluye al valor critico q_c,

i /* -{-OO    /* -f"00

«*.*)* ¿y eI^<ÍX+"<«Mdqj u₀(x^/)e~^i,lx'dx' ,

en la dirección x = vt tenemos

r+oo

i r+oo    r-f-oo

u(vt,t)=— _e[i<i^x+<7(q)t] dq uo(x')e-^<y ,

J—oo    J —oo

de donde -y- \iqv + <r(o)l = 0 implica c = v = con a(q) = e — o² y por ello dq    dq

e-q²

c = i-—, con velocidad crítica c = 2^/e pasando de una oscilación subamor-

?s

tiguada c < 2a/? a una oscilación sobreamortiguada en el caso c > 2-^/é;

Figura 16: Región de integración para el caso bidimensional continuo el número de ondas bidimensional corresponde a

q = (q c + Qx)x + q_yy;

A= ae*[^?I(^x+^^+,v(»^+e)]e^,<7í^t.

Ecuación de fases es la siguiente

¹ “ W + kd¡<t> ;

dt4> =

1 -q*

y debido a que la ecuación de amplitud es invariante para la siguiente transformación

A —> A exp

¡(A

le corresponde a la siguiente ecuación de amplitud

Tod_tA = e + (&x -    ^ \^\² A , (38)

entonces la siguiente ecuación de dispersión se obtiene sustituyendo A en (38),

<*(«) = Tó'to (q ~ <lo )²

v) Estabilidad Eckhaus.

Observamos que el patrón de rollo ocurre, por ejemplo en el fenómeno convectivo de Rayleigh - Bénard - Layer; el cual explica cambios climáticos a cierta altura de la atmósfera y cuya representación es la dada mediante la figura 17.

Calentamiento de los lados Figura 17: Patrón tipo “rollo" en el modelo Rayleigh - Bénard - Layer

Especialmente consideremos patrones del tipo rollos o rayos dados por soluciones de la forma

u(X, Y\ t) = A(X,Y, T)e“ + c-c + hot (39)

donde la envolvente A evoluciona de acuerdo a la siguiente ecuación de Newell-Whitehead-Segel,

dA    | ..₂ / d i d² \ . , .

— -<tA-\A\ A+ yox~2dY*J ^

con —oo < X < oo, —oo < Y < oo; anulando el posible efecto en la frontera, consideremos el patrón del tipo rollo con envolvente dado por

A = Roe** .

Remplazando A en (40) obtenemos

r flo = a-9² , .

\u = R₀éⁱ⁽-^1+tq'>^x ’ ’

y para estudiar la estabilidad del patrón consideramos la perturbación

yl = fio(l-r)eⁱ(«^x+^ (42)

con |r| , |<£| < 1.

La parte real e imaginaria al remplazar A en la ecuación (40) proporcionan el siguiente sistema,

^^r    op2 o ^ ^^T    ^ ^^T

dT⁼~ ^ ^dX ⁺ dX^{2 +} dXdY^{2 + q}dY² ~ ~ühp

d<f> ^ 3r _i d²^ d³r , &4> 1 dV &f ~ ^dX ⁺ dX² “ dXdY^{2 + q}dY² “ 4 ¿V '

El efecto sobre la longitud de onda, donde las derivadas de la perturbación son pequeñas en comparación con las variables mismas, y tomando modos r = re^aT+tkX+llY, (¡> = (feeT+^X+^Y con |¿| < 1, fc ~ Z² constantes reales, encontramos que:

af = — 21&r — 2 iqk<f> — k²r — ikl²<¡> — ql²f--—r,

„ „ „ ⁴ <⁴⁴>

<j<f> = 2iqkr — k²<f> + ikl²r — ql²<j> — —<f> .

Eliminando f y <j> resulta una ecuación cuadrática en a como la siguiente, a + 2B% + k² + ql² + V ^cr + k² + ql² + = k²(2q + l²)² , (45)

lo cual tiene las siguientes relaciones dos raíces

<7i = —2Üq +

/ 2o² \    Z⁴    ‘

(72 = —fc² (l-^j-^-^+Oífc³)

El primer valor propio es <7\ & —2i?² < 0 corresponde al autovector (r, a) = (l,0(fc)) y los rollos correspondientes son estables; el segundo valor propio corresponde a una verdadera modulación porque contiene q, k, l y estos no pueden aparecer en el patrón, su autovector es

(T)

el cual describe la evolución lenta con escala de tiempo del orden 0(l~²) = 0(k~¹)] y reemplazando en la primera ecuación de (44) la perturbación de la fase 4> mediante el cambio de escala

d d d i d d d dX * dX’ dy * dY’ &T * dT ^

con |<5| 1 obtenemos,

2+    + 0(¿²)) r = (-2¿,^ + 0(&²)) *

luego multiplicando en ambos lados por

8

obtenemos

Para perturbaciones en la dirección transversal X, donde l = 0, reemplazamos en la segunda ecuación de (44) y obtenemos

con valor propio positivo para rollos en la región Rq < 2q² (<7 < 3q²). De esta forma se describe la conocida inestabilidad de Eckhaus.

4. Avances sobre las estructuras localizadas en formación de patrones

5. Conclusión

En este artículo hemos presentamos una metodología para describir las bifurcaciones que generan los sistemas dinámicos de la identificación de patrones que surgen en fen'omenos de origen interdisciplinarios; además analizamos la cualidad de los equilibrios inestables, lo cual es útil para retroalimentar el conocimiento de dichos fenómenos.

En particular hacemos una descripción de las bifurcaciones del coeficiente de dispersión "a" como función del número de ondas "q", dado que estos parámetros son los que caracterizan la identificación de patrones en los casos particulares y son relevantes en modelos no-lineales.

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Revista ENTORNOS Volumen 26. Num. 2. Septiembre de 2013

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Investigadores Grupo de Investigación DINUSCO. Email: mmontealegre.cardenas@gmail.com

Revista ENTORNOS. Vol. 26, núm. 2. Universidad Surcolombiana. Vicerrectoría de Investigación y Proyección Social, 2013, pp. 139-159