Mauro Montealegre Cárdenas¹, Jasmidt Vera Cuenca²

Resumen

En este texto estudiamos el modelo de generaciones superpuestas, MGS, para describir el comportamiento del crecimiento económico que tiene parámetros y variables exógenas del efecto invernadero para las generaciones futuras; porque estos parámetros y variables afectan la vida económica, y todo el Teorema de Equivalencia Ricardiana no es totalmente comprobable, entonces, el balance de estos sistemas dinámicos puede ser inestable, desaparecer o requerir bifurcaciones del tipo Flip, como por ejemplo, periodos dobles o del tipo Hopf, como los ciclos generativos.

Palabras clave: Modelo económico, Sistemas Dinámicos, Bifurcaciones tipo libreta, La dinámica económica con la contaminación.

Abstract

In this paper we study the model of overlapping generations, MOG, to describe the behavior of the economic growth that has parameters and exogenous variables of the greenhouse effect for future generations; because these variables and parameters affect the economic life of humans, and the whole Ricardian Equivalence Theorem is not totally verifiable. So, the balance of these dynamic systems can be unstable, could disappear or require Flip type bifurcations, ie double periods, or Hopf type, such as generative cycles.

Keywords: Economic Model, Overlapping Generations, Dynamical Systems, Bifurcations type Flip, Economic dynamics with pollution.

Introducción

El modelo de crecimiento económico de Generaciones superpuestas, MGS, ha recibido especial atención desde la interdisciplinariedad abarcando temas como: la modelización matemática en las Ciencias Sociales, las ecuaciones diferenciales ordinarias, cálculo de variaciones y control óptimo. El estudio de este problema plantea cuestiones relevantes del análisis no lineal que surgen de estudiar las interrelaciones de la actividad económica del hombre con las complejidades de la naturaleza.

Las primeras publicaciones sobre este tema fueron hechas por Paul Samuelson en 1958, y Peter Diamond en 1965. El modelo básico de Generaciones Superpuestas, MGS, tiene las siguientes características: las personas viven durante dos períodos, en el primer período de la vida se conoce como periodo joven, el segundo período de la vida como período Antiguo. El modelo MGS comparte las siguientes hipótesis básicas:

i)    Los individuos reciben una dotación económica de bienes en el nacimiento,

ii)    El capital que se genera en el primer periodo de la vida se consume en el segundo periodo,

iii)    El valor del dinero permanece constante,

iv)    Las personas deben consumir en todos los períodos y hay una función de consumo conocida.

La dinámica con estas hipótesis es hiperbólica, es decir, con equilibrios son estables, pero al no observar la hipótesis ii) como en A. Medio 1992, la dinámica puede ser no - hiperbólica, esto es estructuralmente inestable, siguiendo esta dirección estamos delineando situaciones más complejas debilitando algunas de las hipótesis de i - iv de esta introducción.

En el modelo MGS pueden aparecer ciclos estables o inestables. Estos ciclos son detectados utilizando el Teorema de Bifurcación de Hopf, donde el parámetro de bifurcación es puramente tecnológico. Estos ciclos endógenos en torno de un equilibrio fueron descubiertos por J.M. Grandmont en 1985; también se ha demostrado que al involucrar variables ambientales puede surgir en la frontera inestabilidad en torno de ciertos equilibrios que constituye una bifurcación Flip, esto es, duplicación de periodos para equilibrios del sistema antropoatmosferico. Por ello este estudio es útil para visualizar lo que puede pasar en la vida socio -ambiental de futuras generaciones.

En el trabajo de P. Reichlin (2006) se muestra que el resultado de Grandmont depende de una tecnología muy simple, es decir, aquella en la que el trabajo actual es el único insumo necesario para producir el desarrollo económico. Esta dinámica económica aún es más compleja cuando se involucra el efecto de los gases de invernadero, alta concentración de C0₂ en la atmosfera, como lo plantean entre otros Dong Cao, L. Wangy Y. Wang(2011).

Sobre la importancia de este tipo de estudios han llamado la atención Stem (2006), quien prueba que se deben tomar acciones decisivas para reducir el efecto invernadero para evitar grandes catástrofes con impredecibles costos socio-económico. De otra manera las futuras generaciones sufrirán grandes afectaciones muchos mayores que el costo de evitar la emisión descontrolada de gases de invernadero a la atmosfera, que es nuestra casa. Por ello el foro en Económico Mundial, 2014, el nuevo modelo económico debe dar valor a las externalidades negativas, daño ambiental, teniendo en cuenta la capacidad de carga del planeta para asegurar a las futuras generaciones vida sostenible e inclusiva.

El aporte específico de este artículo consiste en reducir el cálculo a la variedad central en torno a un punto de equilibrio cuyo desdoblamiento se debe a una bifurcación de tipo Flip o Hopf, éste es un resultado del proyecto de investigación de la Universidad Surcolombiana denominado "Bifurcación de Modelos Económicos de Generaciones Superpuestas".

1. Marco Teórico Básico

1.1. Un Sistema Dinámico Discreto Unidimensional Sin Polución

Según P.A. Diamond 1965, la optimizando la utilidad w con dos restricciones, una con respecto a los ingresos laborales de un trabajador y otra con respecto al ahorro en el siguiente modelo, MGS,

'maxW = u(c_it) + (1 + d)²u(c_2t+1, t + 1)

^C11

c_ít + s_t<w_t ^c2t+l < (l + E(r_t+1))s_t . c, w, u, r G R⁺ s, 9 e n&J

donde ^cit> ^c2t son los consumos (o utilidades) en el periodo Joven f y el periodo de retiro t + 1; w_t salario en el periodo t; S_t es ahorro en el periodo ^f/‘ ^rt+1 tasa de interés por los préstamos enunperiodo t + 1; la esperanza de valor capital es constante,

Kt

E0t+i) = r_t+1, y lim^.

t+1

es el factor de discontinuidad intersubjectiva para utilidades futuras.

El modelo (1) tiene soluciones óptimas

^ct+i> ⁵t+i — s_t (w_t, T_t+i), el ahorro total es s_t = N_ts_t donde N_t = N₀( 1 + n)¹ con —1 < n < 1.

La producción total yt depende del capital Kt y del

trabajo Nt mediante una función F homogénea de primer grado, esto es,

y_t = F(k_t,N_t), N_te ir, k_t e

^ = yt = Wt)

donde Kt y yt es la inversión per-cápita y producción per carpita, respectivamente; tal que f independientemente de depreciación y satisface las condiciones de Ineda que se ilustra en la Figura 1:

m)> o, /"(fc_t)>o,/co) = o,

lim/'O_t) = oo, lim f(k_t) = 0.

/c—> 0    K-»00

Básicamente el modelo MGS de Diamond optimiza el beneficio máximo P sujeto

rmaxP =y_t- w_tN_t - r_tK_t i ^Nt,^kt {y_t<F(K_t,N_t)

cuyo niveles óptimos para los precios del capital y el trabajo son equivalentes a sus productos marginales, para la mano de obra y el capital,

fMP_N = w_t=f(k_t)-K_tf'(k_t) ₍₅₎ 1 MP_k = r_t = f(K_t).

Para simplificar el modelo asumimos que hay un único bien en el mercado, y de la hipótesis i) - iv) surge la siguiente identidad iguala la inversión se iguala al ahorro entre estas generaciones, cantidad optima de consumo y ahorros son los siguientes:

'• (¹⁺°\

= w_t - d, = (^)

w_t

donde la tasa de interés futura no afecta la escogencia del consumo y el ahorro óptimo es simplemente proporcional a los ingresos individuales. Notamos que si los valores de utilidad son tales que Q =0 , la mitad de los salarios son ahorros para el segundo periodo; y si estas generaciones asumen que el futuro no importa,

# —> co, entonces si —► 0.

La función de producción en (2) es una potencia homogénea de primer grado, ver P. Reichlin 2006, como la siguiente:

(Y_t = F(K_t,N_t) = K_t^a.N_t¹-^a, 0 < a < 1, N ER⁺, K ERq

yt

= f(k_t) = kf

,Nt

Sustituyendo f de (10) en (5) obtenemos el siguiente proceso dinámico para los precios de los factores de los salarios y capitalización,

^wt=(l-a)fcf

r_t = ak?-¹

kt+i -k_t- N_ts_t - k_t.

El lado derecho de (6) establece que el ahorro neto es la diferencia entre el ahorro de los trabajadores y el desahorro de los pensionados, entonces la ecuación para la dinámica del capital, dependiente de la solución óptima s de (1), tiene la siguiente expresión formal:

Sustituyendo también el ahorro óptimo (9) en (8), obtenemos el siguiente sistema dinámico unidimensional,

1 -a

k_t+-t = ak?, con a = —-—— .

^{t+1 f}    (l + n)(2 + 0)

El comportamiento local, esto es, en torno de sus equilibrios, son determinados por los autovalores del modelo linealizado; es simplemente la derivada de fet+i con respecto a fc_fcalculada en el equilibrio trivial,

dk

k_± = 0,

dk_t

Por el método de multiplicadores de Lagrange encontramos que la condición de primer orden para (16) es

At+ib

n+i = —-¡f- ■    <¹⁷)

Entonces teniendo en cuenta (15), (16), (17) y (5) resulta el siguiente sistema dinámico,

Como la formación de capital en este modelo es financiado por el ahorro de los trabajadores, los valores de acumulación y el estado de reposo del capital necesariamente disminuyen.

2.2. Cálculo de Equilibrio y su Estabilidad

Como en (7) teniendo en cuenta la deducción sobre la nómina obtenemos,

. (s_t* + d_t)

^t+1 (1 + n)

cuyas raíces z₂ yz₃ están relacionadas en la siguiente fórmula,

- ( 1 V~^{a k2}-³" fcj

Observamos que el discriminante de (33) es no negativo, por ello del teorema Descartes aseguramos que hay dos raíces reales, una positiva y una negativa,

Sustituyendo el ahorro optimo, deducciones de nómina y beneficios futuros, obtenemos

(1-r)

w_f —

(2 + 0)(l + n) ^f

(30)

(1 + 0)

t+i-

(l + r_t+1)(2 + 0)

r _ m“'¹

^k3 ~ y~) el cual puede ser real o complejo,

dependiendo de (X y es imposible estudiar la dinámica en torno de este equilibrio, porque depende de si ¹ es par o impar.    i-a

Por otro lado, encontramos los efectos sobre el estado de reposo k% de los parámetros teniendo en cuenta los rangos permitidos, son:

(31)

— (t + n)[fc_t+1(2 + 0) + Af₊₁(a(2 + 6) + r( 1 - a)( 1 + 0))]

de la cual deducimos que la ecuación para la dinámica inversa es la siguiente:

(1 + n)(fc_t+1(2 + 0) + kf₊₁[a(2 + 8) + r( 1 - a)(l + 0)])V

k_t =

(l-aXl-rXí + ak^)

tal como se esperaba, al variar el parámetro de producción, alta tasa de crecimiento poblacional, altas ratas de discontinuidad y altas tasas de impuestos sobre la nómina, induce bajos valores de estado de reposo para capital per-cápita.

El autovalor de la dinámica futura es el inverso del

autovalorde(32),porquelarelaciónentre k_t y k_t+1

es uno a uno, y además dk_t+11

- = +oo

dk Ifc-

esto es, k₁ es un repulsor; y para un rango de parámetros aceptable se tiene que dk_t+1

Entonces los equilibrios son: k_x = 0 , y la solución de

~{pa) ¹k (a + r( 1 + n)( 1 - a)( 1 + 0)p^_1 — (ap<r)^_1)írfc^a_1 + 1 = 0

-1 i.2a—2

donde

p = [cc( 1 - a)( 1 - r)]"¹, a = [(1 + n)(2 + 0)] y p > a > 0.

Haciendo Z = k^a 1 _t observamos que a — 1 < 0 y obtenemos el siguiente polinomio,

z² — {apa + r(l + n)(l + a)    (34) (1 + 6)p — a^_1)z — per = 0

es monótona, luego k₂ es un atractor local, por ello se tiene que en elcuadrante (k_t, k_t+1) el único estado de reposo es k₂ dependiendo de la evolución inicial ^ko- ^si k₀ < k₂ ^esatractor- k₀ > k₂ es repulsor.

2.3. Problema De Optimización Con La Extemalidad Causada Por La Polución

El modelo con ocio estudiado por Medio (1992), los jóvenes difieren del consumo, (í_t) es la desutilidad donde l_t es la parte de este trabajo gastado en formación durante el primer periodo de la vida; u (c_t+1) es la utilidad del consumo en el segundo periodo de la vida, Rf = 1 + r_t es el factor de interés para un solo bien.

En este caso la condición de equilibrio es más compleja,

max W = u (c_t+1) - v(l_t) ^c£+l-‘t

Entonces la dinámica futura de este modelo económico, se determina por el siguiente sistema,

3. Sistemas dinámicos con la extemalidad de la polución

Pero la utilidad derivada del consumo en el segundo periodo c_t+1 es inseparable del índice de concentración del gas invernadero C0₂, A_t, D. caos y otros 2011, por ello en el problema (38) se debe maximizar a u(c_t+1,A_t) - v(Z_c).

A fin de evitar una complicación excesiva, supondremos que sólo existe un bien, el cual se puede

consumir o acumular en forma de capital y la tecnología empleada se describe con la siguiente función de producción del tipo Cobb-Douglas,

y_t = RK?(A_tL_t)

Con respecto al nivel preindustrial k ; la interdependencia de la utilidad del consumo u (c_t+1) con respecto A_t es formalizado por la variable de "la razón de discontinuidad" g = él . entonces,

1 + 6(A_t)

representa el múltiplo del nivel pre-industrial, con medida común del cambio de la duplicación de la conservación en el cambio climático, que es

log₂(l + 6(A_t)) ;

el efecto individual en este problema de optimización se incorpora tomando el reciproco del factor de discontinuidad,

U (C_t+1)

(45)

1 + 6{A_t)

Según Conwey (2003) después de duplicar el nivel preindustrial de C0₂ la atmosfera no puede adsorber las emisiones; para fe = 280 partes por millón el límite regulable de A_t es 100 el factor de discontinuidad ambiental tiene el siguiente rango

0.25 < (1 + 0)“¹ < 1

El índice ambiental entra en el problema de optimización a través del factor de discontinuidad, entonces de (40)y si <^-1 existe, tenemos

r

t . _H[A =vQt). c*_t+1 = f(i;,A_ti 1 + &{A_t)    (47)

f = 1+ 0G4_t))V(I_t)] .

La unidad laboral per-cápita para h y como la producción requiere la entrada de un factor de energía representado por las emisiones z_t , conocida como la producción de extemalidades la cual depende de la inversa del periodo anterior, bk_t+1 . La producción per-capita se aproxima por la siguiente relación de Leontief,

x_t = min[/_t, pz_t], (48)

donde las constantes referidas a procesos de producción a corto plazo; 1, b, p son respectivamente: la producción total per-cápita por unidad de labor, unidad de capital y contaminación p > 0 . Este último parámetro indica que tan "verde" es la producción tecnológica y juega su papel importante en la existencia del equilibrio sostenible

x_t = l_t = bk_t__x = pz_t , (49) de las dos expresiones intermedias resulta que

Zf+l = b(lt — C¿),    (50)

donde estamos asumiendo que: el mercado es perfectamente competitivo, los factores de producción reciben sus productos marginales, y el capital se acumula solamente en un periodo.

Con respecto a la emisión de contaminación, al principio de cada periodo el nivel adicional de emisiones acumuladas es equivalente al "stock" el cual no ha sido captado por el sumidero natural, más las emisiones corrientes. Sea m la captación del océano y la atmosfera es una proporción de las emisiones acumuladas que permanecen en la atmósfera después de un periodo. Sea N la población constante y las emisiones son agregados como Z_t = Z_tN_t y convertido por un factor 0 de grandezas de la emisiones en partes por millón. Con estas hipótesis el proceso de acumulación de concentración atmosférica de la polución es la siguiente:

, h A_t+1 = (1 — m)A_t + 0N —, O < m < 1, (51)

P

k

debido a (49) donde z_t ha sido sustituido por p . Se ha supuesto que mes constante, pero en el último siglo el Panel Intergubernamental del cambio climático, IPCC (1994) , ha calculado que la fracción en el aire deCOo havariado del 15-2596 en 450PPM hasta 30-40& en 750 PPM esto es; la captación no es independiente del nivel de emisiones, y además que existe un nivel de valor extremo en el cual deje de funcionar tal absorción, es un mecanismo conocido como umbral que se expresa así:

m(A_t) = 1 - % ,    (52) A

■f

donde A representa el máximo de las adiciones a la concentración atmosférica para el cual ningún sumidero puede reducir la fracción de emisión, de (52) se deduce que solo es de interés estudiar el caso A_t < Á

Cuando no hay emisores debido a la actividad humana, A_t = 0 el sistema natural está en equilibrio como en el nivel pre- industrial y la captación es completa, m=1 en este caso (51) se convierte en,

A²t

A_t+1= -±+ 0N A_t<A ,S = 0N. (53)

De (47) y (51) tenemos los siguientes dos modelos: (54 a), la limpieza proposicional, o la de captura con umbral (54 b),

P( 1) — (1 ^— cl)Q( 1)< Q polinomiocuadráticocon raíces complejas y d²p    para iv), esta última

dV^¹' ~ ^U

^ct+1 ^— / 0-t'At) h+i ⁼ b(l_tl c_t)

A_t+i = g(At) + ( -, 9a = (1 - m)A_tl P

-3

9t- ¿

De (47) obtenemos el siguiente sistema (54 a) : ^r    °    A \~

At\^a

Ct+1 = (l + j) lt+1 ^— b ( c¿)

At+i = (1 - m)A_t + ^

P

(54) es una condición de transversalidad.

De lo anterior se tienen las siguientes condiciones que simultáneamente garantizan la estabilidad del equilibrio:

1 + % + a₂ — a₃> 0 1 — % + a₂ — a₃ > 0

- a₂ + a_v a₃ — a¡ > 0 3 — a₂ > 0

y como en (44), la condición (iii) no es verificable la cual hace que se pierda la estabilidad de = (0,0,0) en una bifurcación del tipo Neimar - Socker, cuya dinámica es localmente invariante en la variedad central, como se ilustra en la siguiente figura

cuyo origen es un punto de silla y el otro equilibrio tiene las dos primeras componentes así:

(c-, i) =    (1 +    (si

(i + 9(Á)yTirz>

dejando todos los parámetros fijos excepto p, la tercera componente es ^ _ i¿(Á) con,

^— 2

= Q (^) (i + e(£)T& <⁵⁷>

el valor del estado de reposo de los poluentes es determinado por la intercepción de h(Á) = 2¿4con la curva j(A), el lado derecho de la ecuación (57) este estado ae reposo existe porque h y j son continuas h(0) < 7(0) Y para Agrande se tiene

grande) ^ j(Agrande) _i además este equilibrio es único porque h tiene pendiente positiva y j(Á') tiene pendiente negativa.

Como en (44) estudiamos la estabilidad a partir de las raíces de la ecuación característica

P(A) = A³ + (-Traza})A² + a₂X - Det/ = 0 estoes, A³ + a_±A² + a₂A + a₃ = 0, donde a.₂ = A^A_Z + A^A₃ + A₂A₃

para A¡, i G {1,2, 3} , las raíces del polinomio característico. Las bifurcaciones aparecen cuando P(l) = 0 para i), P(—1) = 0 parai'O

Finalmente consideramos el sistema (54 b'), '    P

-£+1

h+1 ^— b(l_t c_t) A² l_t

Este sistema tiene en E_± = (0,0, 0) un punto silla, además cero o dos equilibrios en el octante positivo con los siguientes dos primeras componentes,

La componente A es la intercepción de las dos curvas h y j con

h(Á) = ÁÁ - Á² = ^ t_p(Á) = j(Á)

para todos los posibles valores de 0 < p < 1 , dependiendo de t_p es posible que tal intercepción no exista y para algunos valores de parámetros sea tangente.

Teniendo en cuenta las condiciones de inestabilidad (i)

- (vi) para encontrar los estados de reposo no hiperbólicos tenemos que (i) siempre se cumple; cuando la intercepción entre las curvas hyjes única y no transversal, no se tiene la condición (i), es una bifurcación de tipo Fold y se puede perder la condición (iv), esto es, puede ocurrir una bifurcación de tipo Neimark - Socker.

Conclusiones

En este trabajo hemos estudiado un modelo económico que se explica mediante un sistema dinámico involucrando las variables de trabajo, capital y externalidad de la contaminación del aire causada por la actividad industrial. Hemos analizado dos modelos considerando el autocontrol de la atmosfera, proporcional o considerando la capacidad del umbral de captura; lo cual se expresa mediante un sistema de tres ecuaciones en diferencias; de ellos hemos estudiado sus equilibrios, estabilidad y bifurcaciones. En particular, se detalla las bifurcaciones de duplicación de periodos y la existencia de una órbita periódica de Hopf que aparece significativamente en estos modelos de la economía matemática y son mayor complejidad en la frontera de estas bifurcaciones, dependiendo del parámetro p > 0 , que es el índice de emisión de contaminante por unidad de producción. Si no traspasamos el autocontrol de la atmosfera, en la práctica significa que es posible establecer políticas para reducir el efecto invernadero.

Referencias Bibliográficas

Barrett, S. (1994). Self-enforcing International environmental agreeements. Oxford Economic Papers, 46,878-894.

J. BENHABIB AND R. H. DAY, A characterization of erratic dynamics in the overlapping generations model, J. Econ. Dynam. Control 4 , 1982.

O. J. Blanchard and S. Fischer, Lectures on Macroeconomics.

Cambridge: MIT Press, 1989.

J. Crespo, T. palorcango y A. tarasyev, Dynamical systems economic Growth and the environment, springer, 2010.

D. Cao, L. Wang and Wamp; Endogenous fluctuations induced by nonlinear pollution in and OLG economy; Economic Modelling, 28 (2011)2528-2531.

T. J. Conway (ed), Chapter 2. Carbon Cycle Greenhouse Gases. Climate Manitoring and Diagnostics Laboratory, Report 27. Boulder: U.S.

National Oceanic Atmospheric Administration, 2003.

P. A. Diamond, National debt in a neoclassical growth model, Amer.

Econ. Rev. 55 (1965), 1126-1150.

Ehtamo, H., &Hamalainen, R. P. (1993). A cooperative incentive equilibrium for a resource management problema. Journal of Economic Dynamics and Control, 17,659-678.

R. W. Farebrother, Simplified Samuelson conditions for cubic and quartic equations. The Manchester School of Economics and Social Studies, 4:396-400,1973.

D. GALE, Pure exchange equilibrium of dynamic economic models, J.

Econ. Theory 6 (1973), 12-36.

A. Medio, Chaotic Dynamics: Theory and Applications to Economics.

Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

J.M. Grandmont, on endogenous competitive business cycles.

Econometrica, 53,995-1045,1985.

P.A. Samuelson, A Exact Consumption - Loan Model of interest with or withord the Social Contrivances of Money, Journal of political Economy, 66,467 - 482,1958.

P. Reichlin, Equilibrium cycles in an overlapping, Columbia University Press, N.Y, 2006.

World Economic Forum, New Growth Models, Ginebra, 2014.