Evaluación de algoritmos para estimar la derivada de presión en pruebas de pozos"

Aunque hay muchos métodos para hallar la función derivada que brindan buenos resultados en otros escenarios, en ocasiones la naturaleza discreta de las curvas de presión de pozo hacen que el procesamiento de éstas no sea adecuado. Además el ruido que le imprimen a la prueba las herramientas con la que se adquieren los datos y otros fenómenos naturales ajenos al yacimiento, dificulta el análisis y la posterior interpretación de la prueba.

Para determinar la función derivada de presión, es bastante común encontrar en la literatura los métodos de Bourdet, Simons y Home. Ultimamente se han utilizado con gran éxito algoritmos pobnomiales como el de SpUne y otros, no sólo, para hallar la función derivada de presión si no también, para filtrar los datos de la prueba de presión y asi poder disminuirlas sobre presiones anormales que muchas veces hacen que éstas no se puedan Interpretar.

Laexploraclón de losmétod os pollnomlaleshan permitido evahiarloscuaHtativaycuantltatlvamen te para compararlos con casos teóricos y de campo. Los métodos de mínimos cuadrados móviles y Savltzky - Gol ay se aplican tanto como filtro y como método derivativo. Asi mismo, el método de la familia de los Spline, el Spllne Periódico. En todos ellos el arreglo de puntos P vs t se divide en tramos más pequeños ya que ninguna curva de presión se ajusta a una función pollnómlca.

IngBniflriB&RegióliS

El método de Savltzky - Golay, es muy útil como filtro para reducir el ruido de las pruebas, aunque utilizándolo para hallar la derivada, presentó Inconsistencias en la parte del almacenamiento de la prueba, pero para tiempos tardíos resultó ser bastante apropiado. El método de mínimos cuadrados móviles, es recomendable para hallar la función derivada de presión, aunque basta que el polinomio de aproximación sea de grado 3 mientras que la ventana de los datos tratados se recomienda que sea grande. Por último, el método de Spline Periódico no se recomienda para determinar la derivada de pruebas de presión, pues los datos que se obtienen no muestran una tendencia satisfactoria.

Palabras Clave: Pruebas de Presión, Función Derivada de Presión, Filtro Digital, Ruido, Mínimos Cuadrados Móviles, Aproximación Pollnómlca, Sistema de Ecuaciones, Funciones PoÜnómicas, Spline terlódleo

Even though, there exlst severa! methods for estlmatlng the pressure derivative function which work well kin other scenarios, sometimes, the discrete nature of the weD pressure curves mates its application somehow inadequate. Moreover the noise caused by the tools and other externa! natural phenomena on the recorded data make the analyslsand the subsequent tests interpretaron tobe dlfflcult tasks.

It is very common to find different methods for estimation of the pressure derivative function. Such techniques as Bourdet, Simons and Home, and recently the polynomial algorithms, v.g. Spbne and others have been used successfully, not only to calcúlate the pressure derivative function but also to filter the pressure test data so that the abnormal pressures that many times mates the test non Interpretable could be reduced.

Exploratlon of the polynomial methods has permitted their qualitative and quantitative evaluatlon so they could be compared with both theoretlcal and field cases. The Movlng Least Squares and Savltzky - Golay methods are applied as both filter and derivative methods Same situation tates place wlth method of the Spbne family: the Perlodlc Spline. In all of the just mentloned methods the grouping of pressure versus time data polnts where dlvlded into smaller sections since any pressure trend perfectly matches none of the known polynomial function.

The Savltzky - Golay method is very useful as a filter to reduce the noise Introducid to the pressure tests However, when determlning the pressure derivative, It displays a high Inconsistency at early time - wellbore storage - but, for later times In the test, it results to be very appropriate. The Movlng Least Squares methods are racommended to find the pressure derivative function. It is enough to use a 3rd degree polynomial approximatlon while teeping wide the data window. FinaDy, the Perlodlc Spline Method is not recommended to find the pressure derivative because the obtalned data does not follow a satis factor y trend.

Keywords: Pressure Test, Pressure Derivative Function Digital Filter, Noise, Savltzky - Golay Mcwlng Least Squares; polynomial approximatlon, Ecuatlons System, Polynomial Functions; Pariodic Splne.

Una herramienta que ha llegado a engrosar el repertorio de utilidades de un Ingeniero de Yacimientos cuando Interpreta pruebas de presión de pozo es la Tlab's Dlred Sintesys Technique. De una manera practica ésta nos ayuda a calcular los parámetros para caracterizar los yacimiento de hldroc ¿rburos.

Un factor importante para tener éxito en la Interpretación de las pruebas de pozo con la Tlab's Dlrect Sintesys Technique, es el cálculo de la derivada de presión, y antes de obtener esta función se debe tener en cuenta que las pruebas están afectadas por distintos fenómenos que muchas veces hacen las pruebas muy ditciles de interpretar. Esto Devó a evaluar, distintos métodos, tanto para Intentar disminuir la influencia de fenómenos ajenos al yacimiento como para el cálculo de la derivada depresión.

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La evaluación de estos métodos se realizó cualitativa y cuantitativamente, teniendo en cuenta una metodología ya estudiada y comparando los resultados obtenidos con

modelos teóricos- que se fabricaron, soportados por herramientas software de dmuladón comerciales e internacionalmente, respetados por la industria del petróleo, además, se trata un caso de campo para poder darle mucha más valide: 4] estudio.

Uno de los grandes resultados del presente estudio es la herramienta Software “Derivar en WeüT, que permite ubicar la derivada de presión, no séío, con los métodos tratados en este documento, sino también, con otros métodos bastante tratados en la literatura. Esta herramienta Software ha sido nutrida en la parte analítica, visual y de Inferíase por muchos integrantes del Grupo de Investigación de Pruebas de Presión (G1PP).

La Idea principal de los algoritmos que se evaluaron, fue el ajuste de un arreglo de puntos “t vs. P" de una prueba de presión a una ecuación po linó ni lea de grado n, después de hallada la función es posible hallar la derivada de una manera sencilla.

Como las curvas de presión completas no se ajustan a ninguna curva polinómica, fue necesario evaluarla tomando grupos de puntos más pequeños, asi se toma un punto de trabajo y n puntos hacia delante y hacia atrás, al número de puntos auxiliares se les conoce como ventana, asi si se utilizan 4 puntos hacia delante y 3 hacia atrás la ventana es de 8 puntos.

* Splne periódico determinar los parámetros de los métodos más apropiados para la estimación de la fundón derivada de presión de las base de presión de poso.

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La función derivada de presión, un concepto introducido porTiab en 1976, ha llegado a ser la técnica más popular para analizar datos de pruebas de presión. La principal desventaja del uso de la función derivada es que esta construida por diferenciación numérica de datos discretos de presión. La derivada resultante esa menudo ruidosa y difícil de interpretar.

Los algoritmos polinomiales escogidos, Mínimos Cuadrados Móviles, Savitzky-Golay, Spllne periódico han devuelto muy buenos resultados en Ingeniería de petróleos y en otras ciencias afines, portal razón, se decidió evaluar estos algoritmos y asi poder engrosar la caja de herramientas del ingeniero de paróleos encargado de la interpretación de pruebas de presión.

El objetivo de aplicar el método de mínimos cuadrados a una prueba de pozo es tratar de encontrar una función, en este caso polinómica que se ajuste a los pares de puntos t vs. P, la forma generalizada de la ecuación que se busca

Para poder evaluar estos algoritmos se complementó la herramienta software: “Derivar en WeF, la cual ha sido nutrida en la parte analítica, visual y de interfase por muchos integrantes del Grupo de Investlgadón de Pruebas de Presión (GJPP) de la Universidad Surcolomblana para luego poder comparar los resultados con modelos teóricos y asi poder

Una condidón necesaria para la existencia de un mínimo relativo de esta función es que

con respecto a bj, J ^- 0, 1, 2, -J( sean cero. Resultando entonces las siguientes m+1 ecuaciones lineales:

Para resolver este sistema de ecuaciones se debe tener en cuenta que es extremadamente mal condicionada (iD-conditioned), esto significa que la familia de independencia lineal del polinomio (x^k) es muy cerrada para ser linealmente independiente. Esto quiere decir que todas las fundones x^k tienen una forma muy similar.

El sistema de ecuaciones, se Intentó resolver por el método de LU decompositlon, y el método de House Holder Transformation, obteniendo buenos resultados en unas pruebas, pero en otras simplemente no funcionaban. Por esta razón se decidió utilizar la súbrutlna DSÜLV el cual resuelve el sistema satisfactoriamente.

Es bien sabido, que la curva de t vs. AP no tiene una tendencia pollnómlca clara, asi que a cada punto se le halla una función pollnómlca teniendo en cuenta cierta cantidad de puntos tanto adelante como detrás para luego hallar la derivada de la función hallada en cada tramo.

El método de mínimos cuadrados se puede simplificar si los puntos son equidistantes en el eje X ya que se puede evaluar un conjunto de datos equidistantes centrados en X-0 (por que se sustrae X ).

La matriz A del método de mínimos cuadrados móviles solo contiene términos en X y muchos de estos términos son 0. Especialmente desde que el grupode datos esequldlstante enX, todas las sumas de los exponentes impares deben ser

Teniendo en cuenta esto Savltzky y Golay (1964) presentaron tablas de términos que permiten suavizar grupos de hasta 25 puntos (son utilizados solo puntos Impares para poder reemplazar los puntos con ruido), en donde se pueden escoger los grados de los polinomios.

Considerando que las tablas presentadas por Sawltzky-Golay, contenían un gran número de errores,Stelner y colaboradores prese ntaronu na corrección en 1972 y después en 1978 Madden presentó formulas simples para calcular bs convolut ing Integers y asi poder implementarbs en un programa de computador.

Aunque el método de Mínimos Cuadrados en algunas ocasiones es considerado “Objetivo", aún quedan dos elecciones subjetivas para ajustar una curva a un polinomio móvil:

En 1995 Barak extendió el método para permitir que el programa escogiera el grado del polinomio óptimo y asi el usuario sólo debe escoger el tamaño de la ventana y el grado de polinomio máximo. Esta auto-optimización funciona cada vez que los datos de la ventana cambian. La optimización está basada en una prueba F, usando un nivel de probabilidad predefinido del 5% y asi el programa puede escoger el grado de polinomio óptimo.

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Siguiendo el mismo principio del método de Saultzky-Golay, para hallar la derivada de la curva de presión hay términos que sirven para reemplazar bs datos de la ventana determinada por el usuario por una función pobnómtca y reduciendo el ruido que contiene la curva.

Si se desea construir una curva suavizada que pasa por un conjunto de datos dados (x, y) con un Spline cúbico y además se asume que bs nodos están ordenados asi:

Entonces se puede representar la curva deseada por una función spline S con S(x)<* f (x) , el cual está compuesta de polinomios cúbicos Si jt c [i; + ] s hO.....>1,

Estos Si están definidos diferencial mente por cada siibintervalo y puede satisfacer ciertas condiciones de conexión en los nodos.

Las condiciones de X_Q y deter minan el tipo de función Spline, en este caso para que sea periódico las condiciones son:

— (a,— a_:)~(a,-aj *1 "t

Los resultados del análisis de los diferentes modelos se muestran en el siguiente orden.

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áS)

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1. El error mínimo promedio:

■ |drw

10. Comparación por dispersión - Modelo 1 Suavizado con Saultzky-Gokjj)

tníir Promedio - ——

2. Coeficiente de determinación R2 que representa que tanto el modelo de regresión representa el modelo teórico

ni —L^YIX,]¹

Para les otros 6 modeles teóricos, se hizo el mismo proceso de comparación y asi fácilmente se puede determinar tanto cualitativa como cuantitativamente los algoritmos apropiados para estimar la derivada de presión de las pruebas de presión de pozo.

Para evaluar estes algoritmos se aplicó una metodología probada no sólo en este trabajo, la cual brindó excelentes resultados. Utilizando Software comercial de simulación de yacimientos, se han crearon pruebas de presión teóricas con su respectiva derivada analítica para poder compararlos con los resultados de los métodos po linó micos. Los modelos de yacimiento escogidos son:

Luego de tener los modelos listes se haló la derivada de presión con los algoritmos polinomlales variando los parámetros de los que dependen y los resultados se compararon con la derivada analítica teniendo en cuenta:

Para estudiar la Influencia del ruido en la determinación de la derivada de las pruebas de presión, se agregó ruido aleatoria a las pruebas anteriormente mencionadas y además de esto se so met ló al siguiente proceso:

2. Hallar la derivada con la data suavizada con el método SMOOTF y luego evaluar resultados

3. Hallar la derivada con la data suavizada con el método de Savltzl<y-Golay y evaluar los resultados.

Y asi se determina con esta metodología si la derivada hallada con los métodos numéricos planteados funcionan para el procesamiento de las curvas de presión de poa>.

• El algoritmo de Spline periódico, no es conveniente para hallar las derivadas de presión.

• Aunque se recomienda suavizar la derivada, en caso de que presente mucho ruido si ésta muestra mucho ruido Las derivadas obtenldaspor el métododeSpline Periódico, no mostraron resultados satisfactorios, aún después del suavizamlento.

Cuando la curva de presión no tiene ruido, para hallar la derivada es mejor utilizar el método de mínimos- cuadrados móviles con un grado de polinomio pequero (entre 3 y 4) y una ventana grande; mientras que cuando la curva está muy ruldada es mejor utilizar un grado de polinomio grande y una ventana más pequeña.

□ método de Savltky - Golay aunque presenta un gran margen de erro? en la zona del almacenamiento de la derivada, en el resto de la curva muestra una tendencia bastante acertada y es apta para su posterior Interpretación.

El método que arrojó menos error p ro medio y mayor R2 es el de: Mínimos cuadrados Móviles.

Aplicar un proceso de suavlzamlento a la curva de presión antes de derivarla con el método de Savttky - Golay. arrojó mejores resultados que aplicar el proceso con el algoritmo SMOQFT

Para hacer el análisis de la desviación de las derivadas, no es suficiente con la Interpretación del erior promedio. □ método puede arrojar grandes porcentajes de error y aún así la derivada puede mostrar una tendencia, haciendo posible su Interpretación.

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Propiedades del Yacimiento y de las Fluidos
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