Modelo de flujo de diferencia finita de ejes simétricos para simular caídas de presión dentro y alrededor de un pozo fluyendo1
Fidel Orlando Méndez Montealegre'
El presénte estudio desarrolló un modelo de diferencias finitas de ejes simétricos, para simular caldas de presión en tres dimensiones dentro y alrededor de un pozo fluyendo. Las propiedades del pozo que se pueden simular incluyen: el almacenamiento en el revestimiento del pozo; pérdidas en cabeza hidráulica a través de la malla del pozo y la variación de la cabeza hidráulica por medio de la longitud interior del pozo, debido a la fricción del flujo en la tubería y a la velocidad no uniforme. El modelo admite penetración parcial del pozo y múltiples Intervalos monltoreados. La fracción del flujo interno total hada el pozo que es aportado por cada capa acuífera, es una variable que se calcula en cada paso de tiempo. Las propiedades del acuifero que pueden ser simuladas incluyen condiciones confinadas (con o sin filtración), condiciones no confinadas, no lsotropla horizontal-vertical y variaciones verticales en la conductividad hidráulica.
El flujo horizontal es calculado de una integración de la ley de Darcy que permite la variación del área de la sección trasversal de una celda de diferencia finita a la siguiente. La capa más alta de celdas de diferencias finitas, la cual representa la parte más alta de la zona saturada, contribuye con una producción o rendimiento especifico aparente de agua almacenada, mientras que otras celdas contribuyen un almacenamiento especifico de agua almacenada. Esta representación permite la simulación del efecto de “rendimiento o producción retrasada". El cálculo del flujo horizontal en la capa más alta de celdas admite la reducción del área de la sección transversal (y de la transmtsMdad) causada por la disminución del nivel de agua freática.
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El modelo requiere uniformidad horizontal de la conductividad hidráulica, rendimiento especifico y almacenamiento especifico. Asi mismo, exige que la capa superior de las celdas deba ser más gruesa vertlcalmente que la máxima calda de presión del nivel de agua freática, y que el frente de filtración, no sea simulado. La configuración geométrica implica que la entrada de la bomba, esté encima del tope de la malla del pozo. También es necesario un limite de paso de tiempo bajo, ya que pasos de tiempo grandes hacen que el método explícito resulte en tiempo de ejecución muy
largo o que no converja. Varias propiedades diferentes del aeuífero y numerosas complejidades en el sistema de flujo que son causadas por las características del poao, pueden ser simuladas. Todas las características pueden ser simuladas simultáneamente.
El modelofueprobadomedlantelacomparaclóndesusresultadosconbsresultadosdelassoluciones analíticas publicadas y otros modelos matemáticos. Los resultados estuvieron generalmente en un buen grado de concordancia.
Palabras clave: Ejesslmétrlcos, producción retrasada, rendlmlentoespedficoaparente, rendimiento especifico, almacenamiento especifico.
An axisymmetrlc flnlte-dlfference model was devebped that can simúlate drawdown In three dlmenslons In and around a pumped well. Well propertles that can be simulated Include well-caslng storage, hydraullchead bss across the well screen, and hydrauk-head varlatlon along the length of the well bore due to pipo- flow frlction and nonunlform veloclty. The model alows for partlal well penetratlon and for múltiple screened Intervals. The fradion of total Inflow to the well that is allocated to each aqulfer layer Is a variable that is calculated In each time step. Aqulfer propertles that can be simulated include conñned conditions (leaky or non leaky ), unconflned conditions. vertical-horizontal anisotropy and vertical variatlons In hydrauUc conductivity. Horizontal flow calculated f rom an integratlon of Darcy' s law to allcw for the varlatlon In cross-sedlonal area from one flnite-difference cells, whlch represents the upper part of the saturated zone, contributes stored water from spedfic yleld, whereas other cells contribute stored water from spedflc storage. Thls represe ntation albws for slmulation of the "delayed yleld“ effect. Cale ulation of horizontal flow in the uppermost layers of cells allows for the redudlon In cross-sectlonal area (and transmlssivlty) caused by lowerlng of the water table.
The model requlres horizontal uniformity of hydraulic conductivity spedflc yleld and spedflc storage. The model also requlres that the upper layer of cells must be thlcker vertlcally than the máximum drawdown of the water table, and that the seepage face is not simulated . The geometric configuratlon requlres the pump intake to be above the top of the well screen. An upper llmlt on tlme-step length requlred by the expltdt method can result In lengthy executlon time. Several difieren! aqulfer propertles and numerous complexltles in the flow system that are caused by well characteristlcs can be simulated. Al characteristlcs can be allcwed for slmultaneously. The model was tested by comparlng Its results with results of publlshed analytical solutlons and other mathematlcal modek The results were generally In good agreement.
Key words: Axisymmetrlc, delayed yleld,apparent spedfic yleld, spedfic yleld, spedflc storage.
Un sin número de modelos para agua subterránea, que simulan el flujo en ejes simétricos alrededor de un pozo fluyendo se describen en la literatura. Cooley y Cunningham (1979), describieron un modelo de elemento finito que calcula las pérdidas de la cabeza hidráulica a través de la malla del pozo y a lo largo del diámetro del pozo. Un modelo construido por Davls y Neuman (1983), permite la slmuladón del almacenamiento en el diámetro del pozo y del frente de la flltradón. Reilkj (1984), describe un modelo de elementos finitos que simula condidones limitadas y acutí ecos múltiples.
Debido a que los métodos analíticos usados para interpretar bs datos de calda de presión de pruebas en aculferos requieren una o más suposldones acerca del pozo fluyendo y del sistema aculfero que pueden no ser reales, bs
generalmente conceptual izado como el flujo entre la sección media de una celda y la sección media de la siguiente (Formulación de Celdas Centradas), donde ambas secciones medias son perpendiculares a la dirección del flujo para ser calculadas y donde las secciones medias definen áreas enteras de la sección transversal de las celdas. Las variaciones leves en esta conceptualización general para flujo cerca al pozo y para flujo cerca al nivel freático de agua se explicarán más adelante.
En la forma más sencilla, el flujo de una celda de diferencias finitas a otra puede ser expresado mediante una adaptación de la ley de Darcy (dado que cero caída de presión en todos los puntos del sistema puede ser comparado con cero gradiente en todo el sistema):
Ecuación 1
d(DD)
dX
Donde,
Q-Caudal(L } l'1);
K ■ Conductividad hidráulica en la dirección del flujo (LT1):
A - Área de la sección transversal de las celdas perpendicular a la dirección de flujo (
DD - Calda de fresión (L)¡ y X - Distancia en dirección del flujo {L).
Si el área de la sección transversal de flujo y la conductividad hidráulicas, son constantes en el espado, entonces el gradiente d(DD)/dX puede ser considerado uniforme entre las dos celdas, y, considerando esto se tiene una formulación de celda centrada, el flujo puede ser obtenido por sustitución de la diferencia en la caida de presión entre los puntos del centro de las dos celdas por d(DD), y la distancia entre los puntos del centro de las dos celdas por dX.
Rujo horizontal. En el modelo de ejessimátrlcos, el flujo horizontal es un flujo radial y el área de la sección transversal de flujo (A) varia de una celda a la otra. (Figura 2). El flujo radial entre las celdas adyacentes puede ser visto como el flujo de un extremo de un prisma trapezoidal a otro, donde los extremos opuestos del prisma trapezoidal representan las secciones medias (lineas punteadas en la Figura 2.) de las celdas y donde el área de la sección transversal de flujo varia linealmente con X (Figura 2.). Para derivar una expresión para el flujo de una celda a la siguiente, se considera X-0 a la sección media de la celda 1 y X-L a la sección media de la celda 2. También se considera DELDD como la diferencia entre la caida de presión en el centro de la celda 2 menos la calda de presión en el centro de la celda 1. Debido a que las propiedades hidtáullcas son uniformes horizontalmente en este modelo, la conductividad hidráulica (K) es la misma en las dos celdas. Sustituyendo y reemplazando de la ecuación 1, e integrando entre X-0 a X-L se tiene
Ecuación 2
X I dX
x-*A(X)
Dpnde,
L - La distancia horizontal entre la secciones
medias de las dos celdas (L); y
A(X) - Una expresión matemática para el área
de la sección transversal como una función de
X:
Ecuación 3
Donde,
Al - Área de la sección transversal de flujo en la sección media de la celda 1 (L¡); y A2 - Área de la sección transversal de flujo en la sección media de la celda 2 (L1);
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Universidad Suiwbmbiana Facultad de Ingeniería
Freddy Humberto Escobar M ¿Jíredor ftoyecto de Grado. Ph.D. ingeniería de f-toró/eos. Vicerrector de investigación y Proyección Social. Universidad Surcaba)biana. fcscobatfirusco. edu.co