Supóngase que dispone de un potrero circular de radio ¿sembrado de pasto. En el borde del potrero debe amarrarse un burro y se quiere que el animal tenga acceso exactamente a la mitad del potrero. ¿Cuánto debe medir el lazo con el cual será amarrado el burro?.

0 = a

El área sombreada en la figura es 7ca². Usando coordenadas polares se

~

tiene que el área sombreada A también satisface la relación

A = So 4a² sen² e de + í¿4a²

sen² a de =

r

4 Jo sen² e de + 4(k- a) sen² a = ? 2 ^z

Esta ultima ecuación muestra que el ángulo a que soluciona el problema es independiente de a, el radio del circulo.

Realizando la integración se llega a

a - sen a cosa + (7t-2a)sen² a =~

E1 problema se reduce a hallar una raíz de la función

f{a)= a - Vi sen 2a + (7t-2a)

K

4

A = 1 úo 4a² sen² 0 d0 + 1 J₀4a² 2 2 2 sen² a de ó

" Profesor Titular de la Universidad Sur-colombiana. Programa de Matemáticas y Física.

La longitud L del lazo satisface la relación a< L < V2 a o sea que '/2 < sen a < V2_; luego a satisface

2 ps-

arcsen Vi < a <

2

La raíz de la función /(a) la calculamos usando el método de Newton,

tomando como primera aproximación el punto medio de estos valores extremos de a.

La derivada de f(a) es:

/' (a)= 1-cos 2a + (n-2a) sen 2a - 2 sen² a

Tomando como primera aproximación al = 0.6544 la fórmula f (“„)

a. , i = a_n - —-

ⁿ⁺¹ " / (a„)

proporciona los siguientes valores:

a, = 0.6544 - - (⁰⁶⁵⁴⁴⁾ = 0.6177 /' (0.6544) a₃ = 0.6177 - ^f (° ⁶¹⁷⁷) = 0.6179 /'(0.6177)

Esta tercera aproximación es una buena solución para el problema. El ángulo a es 35, 42°.

Para el caso de a = 1, la longitud del lazo es L = 2sen(35,42°) = 1.1586

El valor del área es A = 1.5706 valor muy aproximado a 1L.