facultad de Educación

UNA DESIGUALDAD TRIGONOMETRICA A TRAVÉS DE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA

RICARDO CEDEÑO T. Y OLGA LUCIA YUSTES H.

Universidad Surcolombiana

A raíz del Seminario de investigación que realizan los estudiantes del Programa de Matemáticas y Física de la Universidad Surcolombiana encontramos un método utilizado por Cauchy. Aqui lo hemos adaptado para demostrar una desigualdad trigonométrica por Inducción Matemática.

Si a y p son ángulos que satisfacen las condiciones 0 < a < 180^s y 0 < p < 1800, entonces

sena + senp < 2 sení^^p)

Tenemos la igualdad en el caso que a = p. Para demostrar esto podemos inicialmente mostrar que

sena + senp = 2sen(^fi2^) cosí²^)

En efecto:

sena + senB = sen    + ^sen *^flí^) = ^sen (^7^") ^cos +

sen cos + sen cos - sen (^Qt^-) cos (“*&■) =

2 sen (^) cos i^). Ahora,

a~p satisface -180²< a-p< 180^s esto lleva a que cos (*£=&.) es positivo o es cero,

2

con valor máximo 1, así tenemos que sen a + sen p = 2 sen (a+p) cos (a-P) <

2 2

Matemáticas 20 años

2 sen fa+pl 2

Es natural pensar en la generalización de este resultado. Intuitivamente, tenemos que a,, a₂..., a_nson ángulos que satisfacen las condiciones 0 < a a_t < 180^s para todo j = 1,2,..,,n entonces

sena,+sena₂+... + sena_n < n sen n fal+a2+-+an). la igualdad

2

ocurre Si a, = a₂ = ... =a_n

Para demostrar esta corazonada, lo trataremos desarrorando una técnica empleada por Cauchy para tratar demostraciones por Inducción Matemática.

Si llamamos a Pn, la función proposicional sena,+sena₂+...+sena_n < n sen n (gl+a2+...+anV sabemos ya que P1 y P2 son verdaderas.

2

Vamos a suponer que P_n, es válida para cualquier entero n > 3, y trataremos de establecer la veracidad de P_n-1.

Sea a a,+a₂+...+a_n- 1, n-1 ángulos no todos iguales, y definamos a

a_ncomo a_n = (^al+a^+-^+an'D = observemos quea_l+a₂+...+a_n^+a_n = (a,+a₂+...

+ <*„.,) +⁽—^{+a 2+}n,r ^{+ an}~¹ ^(al+a 2+...+an- 1)(1+£-) = (-£-) (al+a 2+...+an-1)=

(ííV ) (n -1) an = na_n Así que señal +...+ sen _n., +sena_n < n senn («l+...+«n)

implica que señal + sena2 +... +sena_n., +sena_n <_ n sena _n= (n-1) sen (^al+-^+an) Ahora a partir de suponer que Pn es verdadera veamos que P2n también lo es.

Consideremos a,+a ₂+...+a_2n donde los a_¡ son ángulos cualesquiera, no todos iguales, satisfaciendo 0<_a. <_180^a entonces tenemos: señal +sena2+...+sena_n <_ n sen (^ai^+a 2⁺-^+an), y, sena , + sena_n+2 +... + sena_2n <_ n sen

n

(am«nti+58nm.t2 t..,₊₈9n«2n)₎ |_ueg₀ sena, + sena₂ +... + sena_2n<_nsen n(^g1+n^tH-°) + nsen n    _ _n[_sen    + sen (^ga±IV^Jta2a) ] ²ⁿ

a 1 +... +a n i an +1+...+a2n

[sen(—°—--=-)] 2n sen (^g1+-^+ff2n).

Este resultado lo podemos enunciar como:

Teorema. Si a, +a ₂+...,+a_nSon ángulos que satisfacen las condiciones 0 <_a ¡ <

180^s para todo j = 1,2.....n entonces: sena, +... + sena_n+ <_n sen    |_a

igualdad sí y sólo sí a, = a ,=... = a„

1 ,    ¿y    n.

Es bastante interesante e ingenioso el método desarrollado por Cauchy para demostrar teoremas utilizando la Inducción Matemática.

BIBLIOGRAFIA

1. Apóstol, Tom., Calculus. Volumen I, Editorial Reverté, 1.972.

2.    Cedeño, R., Penagos M., La inducción en la educación secundaria, XII Coloquio Distrital de Matemáticas y Estadística, 1.995.

3.    Niven, Ivan, Maxima and Minima Without Calculus, The Mathematical Association of America, 1.981.

4. Yustes, 0. L., Seminario de Investigación, Universidad Surcolombiana, 1996. DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS, UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA, NEIVA - HUILA.I^