Paideia    75

UNA FÒRMULA CURIOSA

Augusto Silva S.

Profesor Titular Programa de Matemáticas y Física Universidad Surcolombiana

Tratándose de derivadas vamos a convenir que la derivada cero de una función f es la misma f, o sea fío)=f. Valen los resultados siguientes:

(f.f (f.tf=(fg Tgf) =fg*T gf'+ gfrfg =fg    't'ff

El objetivo de este artículo es mostrar una fórmula que permita calcular derivadas de orden alto, digamos 4, 5 ó más, de un producto de funciones sin tener que conocer las derivadas intermedias. El resultado es curioso, dado que guarda mucha analogía con la fórmula conocida con el nombre de Teorema del Binomio:

Obsérvense las analogías entre los coeficientes y los exponentes de

(a + b)19 (a + b) ^ (a + b) y las

derivadas (f.g) (f.g)" (f.g) \ En

general, se tiene el siguiente resultado : si f, g son funciones que admiten derivadas hasta de orden n entonces (f.g) también admite derivadas de orden n y además

-k. k

(a + b) = k| (nk)anlb

En particular:

(a+b) = a + b = a1b°+a b1

2 2 1 (a + b) = a2+2ab + b = a2b +2ab + ao

(a+b) = a3+ 3a2b + 3ab +b = a3b +3a2b +3ab2 +a°l)

(k)

g

I

c

A

S

Al igual que en el caso del Teorema del Binomio, este resultado también se prueba por inducción. En efecto:

1.    Es claro que el resultado vale para n=l.

2.    Supongamos que el resultado vale para n y veamos su validez para n+1:

(n-k)


(.+1) ■

(f-g) =S k

K=fl


(n-k) (k+1) (n-k+1) f g f


00


=s


f g


k=0


Nífr+O

k=0


(k) (n'k+1) U/g f


= 2

K=0


f g


(n-k + 1) (k)    (0) (n + 1)    (0) (n + 1) +    (k) (n-k+1)

Mf g U/f g Mg f wU/g f

K=1 . n+1

(n-k+1) 00 + (o+l) (0) (1 + 1)

(k+i (■+!) (0) .5

1 0 I f g W

f g r'/f g

,K-1

K+,| <"+1> « +S i(n+I) (“-k+1) » + i”+1| (0) (.+1)

'f g wMf g g 1

n+1 /n + l\ (n-k+1) (k)

= S K f g

K=0

A manera de ejemplo, la cuarta derivada de ex sen x es :

X (4) (4)    (°)    (3)    (1)    (2)    (2)    (1)    (3)

(esenx) = (ex) (senx) + 4(ex) (senx) + 6(ex) (senx) + 4(ex) (senx)

+ (ex) (senx)<4) = e senx + 4excosx - 6e*sen x - 4excosx + ex senx = 2exsen x - 6ex sen x =-4ex sen x

BIBLIOGRAFIA

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1.    APOSTOL, Tom. Calculus. Volumen I, Editorial Reverté, 1976

2.    COURANT, R., Robbins, H., ¿Qué es la matemática?. Editorial Aguilar, 1976

3.    RAINVILLE, Earl D., Ecuaciones diferenciales elementales. Editorial Trillas, 1979